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Hallo,
also wenn ich es recht verstehe, ist Deine Klasse ein Server, das gibt mit einem Applet schonmal das Problem, dass Applets nur Verbindungen mit Ihrem Herkunftsserver aufbauen dürfen. Die Restriktion kann man allerdings in Java2 durchbrechen, aber das führt recht weit, und praktisch gemacht habe ich es auch noch nicht.
Dann ist ein Applet eine grafische Komponente, also müsstest Du die Ergebnisse irgendwie mit GUI Elementen (z.B. in einem Textfeld) darstellen. Momentan machst Du ja nur Konsolenausgabe (geht zwar auch, macht man aber bei Applets nur für Debug und Fehlermeldungen).
Zu Deinem grundsätzlichen Ausgangsproblem, nicht Durch Vererbung aus dem Server ein Applet machen, sondern mach erst ein Applet, probier das ruhig mal vorher aus, und baue dann die Serverklasse als Variable im Applet ein. Aber irgendwie muss ich Dir ehrlich sagen, arbeite Dich erstmal noch etwas allgemein in Java ein, momentan hast Du Dir noch etwas viel für den Anfang vorgenommen :-) Nimm ein gutes Buch zur Hand und lerne Java von Grund auf (Klassen, Objektorientierter Programmierstil, Bau von grafischen Oberflächen) bevor Du dich an Netzwerkanwendungen wagst.
Gruss
Marko