echo $begrüßung;
[...] name="box$x" [...]
Wann immer du gedenkst, einen (Variablen-)Namen so zusammensetzen zu wollen, ist die vermutlich bessere Idee ein Array. Wenn du das im HTML-Teil mit [] notierst (name="box[$x]") legt dir PHP in $_POST oder $_GET unter dem Key box ein Array an, in dem du mit foreach jeden Wert erreichen kannst.
foreach ($_POST['box'] as $key => $value)
...
Siehe auch:
echo '<pre>'; print_r($_POST);
echo "$verabschiedung $name";