Moin.
Ich habe gerade mal das in der Wikipedia verlinkte Paper überflogen.
Es freut mich, dass Du sowas "überfliegen" kannst, ich muss sowas lesen...
Mit deinem Schnipsel Trigonometrie ist es leider nicht getan,
Der wertfreie Begriff, den Du sicherlich suchtest, ist "fehlende Längentreue", die sich auch bei Verfeinerung meines Ansatzes nicht einstellen würde.
Mein Fehler war übrigens, diesen Absatz aus dem Wikipedia-Artikel zu Gauß-Krüger-Koordinaten
"Man liest die Y- und X-Werte wie in jedem kartesischen Koordinatensystem ab, also parallel zu den Achsen und nicht zu den jetzt bogenförmig verlaufenden Linien der Längen- und Breitenkreise."
wörtlich zu nehmen
Wie Du ja sicherlich erkannt hast.
wobei dein Ergebnis übrigens auch nicht mit der Formel für die Mercator-Projektion übereinstimmt.
In dem Paper wird eine Näherung für Gauss-Krüger-Koordinaten auf beliebigen Ellipsoiden über den Zwischenschritt regulärer komplexer Funktionen, also auf 'eher nicht-trivialem' Weg entwickelt. Der Autor verzichtet darauf, eine abschließende Formel anzugeben, man kann sie sich aber durchaus zusammensuchen:
Es ist löblich, dass Du auf das "Paper" verlinkt hast;
Die Reihenentwicklung für die Gauss-Krüger-Koordinaten sind die Gleichungen (5.4.13) und (5.4.14), die Hilffunktion s wird in (5.4.105) genähert und die Taylorkoeffizienten der Funktion g bis zur 8. Ordnung finden sich als Gleichungen (5.4.108,132,136,143,151,159,166,173) wieder.
Der Exzentrizitätsparameter e wird in (3.4.1) definiert, der Querkrümmungsradius R_N in (5.3.25) und die Hilfsgröße \delta in (5.4.109).
Du hättest es uns nicht vorlesen müssen.
Interessant wäre eher eine Transferleistung gewesen, also der Umgang mit den Ergebnissen und die Aufbereitung; ein solche hast Du bislang nicht erbracht.
---
Also schauen wir doch mal gemeinsam wie wir den ganzen Formelapparat algorithmisch behandeln können:
S.51 - 5.4.105 s(phi) ist keine "Hilfsfunktion" sondern das Integral des Linienelements für Lambda = const = 0 zwischen 0 und phi; also die Bogenlänge entlang des Mittelmeridians.
s lässt sich einfach mit Mitteln von Javascript berechnen.
S.39 - 5.4.12 ist eine Gleichung mit einer reellen Veränderlichen und der führende Quotient wird bei zur Potenz einer Variablen, die man bei einer numerischen Lösung, denn diese erfolgt ja bei "festgehaltenem" phi und lambda (!) eingangs einmal nach S.33 - 5.3.24 und 5.3.25 ausrechen.
Einzig die n-ten Ableitungen von q(phi), also nach S.36 5.3.58
q(phi) = artanh(sin phi) − e artanh(e sin phi)
mit artanh(x) = 1/2 ln((1+x))/(1-x)) = 1/2 [ ln(1+x) - ln(1-x) ]
(Anhang C fehlt in dem Aufsatz)
Es erscheint effizient, nicht die Zahlenkolumnen aus dem Ausatz abzutippen, sondern sich von Maple oder anderen Programmen einmal berechnen zu lassen, da wir für Javascript einfache Ausdrücke brauchen, würde ich die Definitionsgleichung für den artanh verwenden.
Da d/dx artanh(x) = 1/(1-x^2); sind die äusseren Ableitungen Potenzen; die inneren werden Produkte aus +/-sin(x) und +/-cos(x) werden.
Mit c&p und "Suchen und Ersetzen" (von Klammern) sollten sich die Ableitungen, die Maple erzeugt in Javascript verwenden lassen;
Mathematisch interessant wird's nochmal auf S.39 5.4.13 u. 5.4.14.
In den Taylortermen tauchen nicht nur die 2n(+1)ten Ableitungen von g auf, sondern auch entsprechende Potenzen von Lamda.
Bei Meridianstreifen von von 3°, also lamda <= 1.5° = 0.026 rad, somit fallen dank der kleinen Lamdas die Taylor-Restglieder um den Faktor (3/100)^(2n) schneller als bei der Abschätzung S. 45; es gilt jetzt zu bestimmen, wie dies beiträgt.
Eine solide Hypothese scheint mir, dass man bereits nach dem zweiten oder dritte Taylor-Summanden abbrechen kann.
Jetzt Du wieder?
Grüsse
Solkar