Gunnar Bittersmann: Ordnungsrelationen auf X={1,2,3}

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@@mezger:

nuqneH

wie finde ich alle Ordnungsrelationen auf X. Haben diese definiert als antisymmetrisch, reflexiv und transitiv.

Hm, ich hätte von einer Ordnungsrelation auch erwartet, total zu sein. Aber laut Wikipedia unterscheidet man zwischen Halbordnung und Totalordnung.

XxX sind
(1,1) (1,2) (1,3)
(2,1) (2,2) (2,3)
(3,1) (3,2) (3,3)

X × X ist eine Menge, also schreib das bitte auch so: X × X = X² = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}

Auf Grund der Reflexivität müssen alle Ordnungsrelationen die Paare (1,1) (2,2) und (3,3) enthalten.

Also ist die erste mögliche Relation 1: (1,1) (2,2) (3,3)

Als Menge geschrieben wäre es OK.

Dann gibt es Relation 2 (<=):
(1,1) (1,2) (2,2) (2,3) (3,3)

Nein, {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3)} ist keine Ordnungsrelation; sie erfüllt nicht alle gestellten Bedingungen.

Aber hübsch der Reihe nach. Warum gehst du nicht systematisch vor und fügst {(1,1), (2,2), (3,3)} _ein_ Element aus X² hinzu?

Nehmen wir (1,2): Erfüllt {(1,1), (1,2), (2,2), (3,3)} die geforderten Eigenschaften? Wenn ja, hättest du eine weitere Halbordnung.

Und kannst statt (1,2) natürlich jedes andere Element (x₁,x₂) aus X² mit x₁ ≠ x₂ zu {(1,1), (2,2), (3,3)} hinzufügen.

Und dann weiter: Zu {(1,1), (1,2), (2,2), (3,3)} ein weiteres hinzufügen. Geht (1,3)?

Geht (2,1)? Offensichtlich nicht, weil das die Antisymmetrie verletzt.

Dass (2,3) _allein_ nicht geht, hatte ich oben schon gesagt.

So kannst du deine gefundenen Ordnungsrelationen Schritt für Schritt erweitern, bis du schließlich alle hast.

Qapla'

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Gut sein ist edel. Andere lehren, gut zu sein, ist noch edler. Und einfacher.
(Mark Twain)