tag:forum.selfhtml.org,2005:/selfMathematik zum Wochenende – SELFHTML-Forum2016-10-26T10:09:27Zhttps://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676591#m1676591Matthias Apselmatthias.apsel@selfhtml.orghttp://brückentage.info2016-10-08T10:49:37Z2016-10-08T10:49:37ZMathematik zum Wochenende<p>Hallo alle,</p>
<p>Beweisen Sie, dass für beliebige nicht negative Zahlen $$a$$, $$b$$, $$c$$ folgende Ungleichung gilt:</p>
<p>$$ a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc $$</p>
<p>Bis demnächst<br>
Matthias</p>
<div class="signature">-- <br>
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https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676592#m1676592Der-Dennis2016-10-08T11:35:09Z2016-10-08T11:35:09ZMathematik zum Wochenende<p>Hallo Matthias,</p>
<blockquote>
<p>Beweisen Sie, dass für beliebige nicht negative Zahlen $$a$$, $$b$$, $$c$$ folgende Ungleichung gilt:</p>
<p>$$ a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc $$</p>
</blockquote>
<p>ich hab's jetzt nicht gerechnet, aber für mich sieht sowas immer schwer nach Binomischen Lehrsatz aus.</p>
<p>Ich tippe also mal einfach blind drauf los, weil die Dinger eigentlich immer gleich ablaufen :-)</p>
<ul>
<li>alles auf eine Seite bringen (daraus folgt größer gleich Null auf einer Seite)</li>
<li>da es eine quadratische Funktion ist, müssten da nach Lehrsatz Zweier drin vorkommen, also mit 2 multiplizieren</li>
<li>vollständige Induktion (Ungleichung ist für die Zahl Null erfüllt und für alle anderen auch, da das eine quadratische Funktion ist und deren Wert immer größer Null)</li>
<li>q.e.d. (in der Hoffnung, dass das auch hier tatsächlich so ist ;-) )</li>
</ul>
<p>Gruß<br>
Dennis</p>
https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676598#m1676598Matthias Apselmatthias.apsel@selfhtml.orghttp://brückentage.info2016-10-08T14:50:36Z2016-10-08T14:50:36ZMathematik zum Wochenende<p>Hallo Matthias Apsel,</p>
<p>Den beiden positiven Bewertungen entnehme ich, dass es Spaß gemacht hat. Nächstes Wochenende wieder?</p>
<p>Bis demnächst<br>
Matthias</p>
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https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676624#m1676624Gunnar Bittersmannselfhtml@bittersmann.dehttp://bittersmann.de2016-10-09T06:28:43Z2016-10-09T06:28:43ZMathematik zum Wochenende<p>@@Matthias Apsel</p>
<blockquote>
<p>Beweisen Sie, dass für beliebige nicht negative Zahlen $$a$$, $$b$$, $$c$$ folgende Ungleichung gilt:</p>
<p>$$ a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc $$</p>
</blockquote>
<p>Mit der Einschränkung auf nichtnegative Zahlen kann man das wunderschön ohne zu rechnen geometrisch beweisen:</p>
<p><img src="/images/ad2aa674-d3b5-430d-ba94-41dec02b4bb6.jpg" alt="" loading="lazy"></p>
<p>Es sei o.B.d.A. <em>a</em> ≥ <em>b</em> ≥ <em>c</em></p>
<p>Man schneidet von den Quadraten die jeweils überstehenden Streifen ab und schiebt sie nach oben. (Bei Gleichheit zweier Längen gibt es halt keinen Streifen.) Schon <strong>sieht</strong> man die zu beweisende Ungleichung erfüllt.</p>
<p>LLAP </p>
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https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676662#m1676662plhttp://nkfd.rolfrost.de/2016-10-10T06:41:39Z2016-10-10T06:41:39ZMathematik zum Wochenende<p>Hallo alle,</p>
<blockquote>
<p>Beweisen Sie, dass für beliebige nicht negative Zahlen $$a$$, $$b$$, $$c$$ folgende Ungleichung gilt:</p>
<p>$$ a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc $$</p>
</blockquote>
<p>Wozu beweisen, ich glaubs Ihnen (<a href="http://rolfrost.de/busch.html" rel="nofollow noopener noreferrer">Wilhelm Busch</a>)</p>
https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676593#m1676593Matthias Apselmatthias.apsel@selfhtml.orghttp://brückentage.info2016-10-08T12:05:00Z2016-10-08T12:05:00ZMathematik zum Wochenende<p>Hallo Der-Dennis,</p>
<blockquote>
<ul>
<li>alles auf eine Seite bringen (daraus folgt größer gleich Null auf einer Seite)</li>
</ul>
</blockquote>
<p>Ja, so kann man anfangen.</p>
<blockquote>
<ul>
<li>vollständige Induktion</li>
</ul>
</blockquote>
<p>Vollständige Induktion geht hier nicht.</p>
<p>Eine Fallunterscheidung hilft weiter.</p>
<ul>
<li>alle Zahlen sind gleich -> trivial</li>
<li>zwei Zahlen sind gleich -> das ist mit deinem Ansatz auch (fast) trivial</li>
<li>die Zahlen sind paarweise verschieden</li>
</ul>
<p>Bis demnächst<br>
Matthias</p>
<div class="signature">-- <br>
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https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676594#m1676594Tabellenkalk2016-10-08T12:09:45Z2016-10-08T12:09:45ZMathematik zum Wochenende<p>Hallo,</p>
<blockquote>
<p>die Zahlen sind paarweise verschieden</p>
</blockquote>
<p>du meinst jeweils drei bilden ein Paar und sind verstorben?</p>
<p>Gruß<br>
Kalk</p>
https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676595#m1676595Der-Dennis2016-10-08T13:00:21Z2016-10-08T13:00:21ZMathematik zum Wochenende<p>Hallo Matthias,</p>
<blockquote>
<p>Eine Fallunterscheidung hilft weiter.</p>
<ul>
<li>alle Zahlen sind gleich -> trivial</li>
<li>zwei Zahlen sind gleich -> das ist mit deinem Ansatz auch (fast) trivial</li>
<li>die Zahlen sind paarweise verschieden</li>
</ul>
</blockquote>
<p>braucht man denn überhaupt eine Fallunterscheidung? Ich hab's gerade mal mit der „Bauernmethode“ versucht (so hat unser Lehrer das früher immer genannt, wenn wir irgendwas nicht mathematisch komplett konform oder nicht in seinem Sinne gemacht haben), nachdem Du meinen Ehrgeiz geweckt hast ;-) Irgendwie ist es manchmal schon schade, dass man Mathematik nur noch nebenbei macht und vieles einfach vergisst.</p>
<p>$$ a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc $$<br>
$$ \Longleftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc \geq 0 $$<br>
$$ \Longleftrightarrow 2*(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc) \geq 2*0 $$<br>
$$ \Longleftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc \geq 0 $$<br>
$$ \Longleftrightarrow a^2+a^2+b^2+b^2+c^2+c^2-2ab-2ac-2bc \geq 0 $$<br>
$$ \Longleftrightarrow a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2 \geq 0 $$<br>
$$ \Longleftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bc+c^2) \geq 0 $$<br>
$$ \Longleftrightarrow \underbrace{(a-b)^2}<em>{\geq 0}+\underbrace{(a-c)^2}</em>{\geq 0}+\underbrace{(b-c)^2}_{\geq 0} \geq 0 \qquad , \qquad ∀;a,b,c∈\mathbb{R} $$</p>
<p>Falls ich da keinen Fehler gemacht habe, müsste das also sogar für alle reellen Zahlen gelten und die Einschränkungen in der Aufgabe müssten nicht mal sein!? Oder wo ich hab ich meinen Denkfehler?</p>
<p>Schöne Aufgabe!</p>
<p>Gruß<br>
Dennis</p>
https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676612#m1676612Gunnar Bittersmannselfhtml@bittersmann.dehttp://bittersmann.de2016-10-08T19:39:38Z2016-10-08T19:42:03ZMathematik zum Wochenende<p>@@Matthias Apsel</p>
<blockquote>
<p>Eine Fallunterscheidung hilft weiter.</p>
</blockquote>
<p>Keine Fallunterscheidung aber auch. ;-b</p>
<p>Warum kompliziert, wenn’s auch einfach geht?</p>
<p>Bei den Termen _a_², _b_², <em>ab</em> etc. denkt man™ doch gleich an die binomische Formel. (Und zwar an die, die tatsächlich eine binomische Formel ist.)</p>
<p>Ich weiß nicht, was Der-Dennis da zusammengeschrieben hat; bei mir ist’s ein Dreizeiler:</p>
<p>Für alle reellen <em>a</em>, <em>b</em>, <em>c</em>
(ohne Einschränkung auf nichtnegative) gilt:<br>
(<em>a</em> − <em>b</em>)² + (<em>a</em> − <em>c</em>)² + (<em>b</em> − <em>c</em>)² ≥ 0<br>
<em>a_² − 2_ab</em> + <em>b_² + <em>a_² − 2_ac</em> + <em>c_² + <em>b_² − 2_bc</em> + <em>c_² ≥ 0<br>
2_a_² + 2_b_² + 2_c_² ≥ 2_ab</em> + 2_ac</em> + 2_bc</em></p>
<p>Das Durchzweiteilen überlasse ich euch.</p>
<p>LLAP </p>
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https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676596#m1676596Matthias Apselmatthias.apsel@selfhtml.orghttp://brückentage.info2016-10-08T13:07:02Z2016-10-08T13:07:02ZMathematik zum Wochenende<p>Hallo Der-Dennis,</p>
<blockquote>
<p>braucht man denn überhaupt eine Fallunterscheidung? Ich hab's gerade mal mit der „Bauernmethode“ versucht (so hat unser Lehrer das früher immer genannt, wenn wir irgendwas nicht mathematisch komplett konform oder nicht in seinem Sinne gemacht haben), nachdem Du meinen Ehrgeiz geweckt hast ;-) Irgendwie ist es manchmal schon schade, dass man Mathematik nur noch nebenbei macht und vieles einfach vergisst.</p>
<p>$$ a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc $$<br>
$$ \Longleftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc \geq 0 $$<br>
$$ \Longleftrightarrow 2*(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc) \geq 2*0 $$<br>
$$ \Longleftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc \geq 0 $$<br>
$$ \Longleftrightarrow a^2+a^2+b^2+b^2+c^2+c^2-2ab-2ac-2bc \geq 0 $$<br>
$$ \Longleftrightarrow a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2 \geq 0 $$<br>
$$ \Longleftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bc+c^2) \geq 0 $$<br>
$$ \Longleftrightarrow \underbrace{(a-b)^2}<em>{\geq 0}+\underbrace{(a-c)^2}</em>{\geq 0}+\underbrace{(b-c)^2}_{\geq 0} \geq 0 \qquad , \qquad ∀;a,b,c∈\mathbb{R} $$</p>
</blockquote>
<p>Ja, das ist geschickter als mein Beweis.</p>
<blockquote>
<p>Falls ich da keinen Fehler gemacht habe, müsste das also sogar für alle reellen Zahlen gelten und die Einschränkungen in der Aufgabe müssten nicht mal sein!? Oder wo ich hab ich meinen Denkfehler?</p>
</blockquote>
<p>Mein Beweis gilt auch für alle reellen Zahlen, wo ich so drüber nachdenke. Die Aufgabe ist nicht von mir, ich weiß also nicht, warum die Einschränkungen da gemacht wurden. Aber sie hat mir auch gefallen.</p>
<p>Bis demnächst<br>
Matthias</p>
<div class="signature">-- <br>
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https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676599#m1676599j4nk3y2016-10-08T14:59:10Z2016-10-08T14:59:10ZMathematik zum Wochenende<p>Salve,</p>
<blockquote>
<p>$$ a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc $$<br>
$$ \Longleftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc \geq 0 $$<br>
$$ \Longleftrightarrow 2*(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc) \geq 2*0 $$<br>
$$ \Longleftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc \geq 0 $$<br>
$$ \Longleftrightarrow a^2+a^2+b^2+b^2+c^2+c^2-2ab-2ac-2bc \geq 0 $$<br>
$$ \Longleftrightarrow a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2 \geq 0 $$<br>
$$ \Longleftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bc+c^2) \geq 0 $$<br>
$$ \Longleftrightarrow \underbrace{(a-b)^2}<em>{\geq 0}+\underbrace{(a-c)^2}</em>{\geq 0}+\underbrace{(b-c)^2}_{\geq 0} \geq 0 \qquad , \qquad ∀;a,b,c∈\mathbb{R} $$</p>
</blockquote>
<p>Schicker Beweis :) Leider hab ich es zu Spät gesehn...</p>
<p>Gruß
Jo</p>
https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676607#m1676607Rolf b2016-10-08T18:18:50Z2016-10-08T18:18:50ZMathematik zum Wochenende<p>Die Verdoppelung ist ziemlich schlau :)</p>
<p>Da Du nicht quadrierst und nicht mit den Variablen multiplizierst, sehe ich ebenfalls keinen Grund, die Variablen auf die nichtnegativen reellen Zahlen zu beschränken. Vielleicht wollte der Aufgabensteller Panik vermeiden, denn wenn man nicht auf den Verdopplertrick kommt, dann fängt man die wilden Fallunterscheidungen mit positiv und negativ an.</p>
<p>Ich hab's gerade mit den vier Fällen $$ a = b = c $$, $$ a > b = c $$, $$ a = b > c $$ und $$ a > b > c $$ durchgerechnet. Fall 1 ist trivial, Fall 2 und Fall 3 laufen schnell auf $$ (a-b)^2\geq 0 $$ und $$(a-c)^2 \geq 0 $$ hinaus. Fall 4 habe ich dann so gerechnet:</p>
<p>$$ a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc $$<br>
$$ \Longleftrightarrow a^2+b^2+c^2 -2ab-c^2 \geq ab+ac+bc -2ab-c^2 $$<br>
$$ \Longleftrightarrow a^2-2ab + b^2 +c^2 -c^2 \geq ac-ab+bc -c^2 $$<br>
$$ \Longleftrightarrow (a-b)^2 \geq a(c-b)+c(b -c) $$<br>
$$ \Longleftrightarrow (a-b)^2 \geq a(c-b)-c(c -b) $$<br>
$$ \Longleftrightarrow \underbrace{(a-b)^2}<em>{\gt0} \geq \underbrace{(a-c)}</em>{\gt0}\underbrace{(c-b)}_{\lt0} $$</p>
<p>Und jetzt steht links eine positive Zahl, rechts eine negative Zahl (weil a>c und b>c) und damit sind die vier Fälle bewiesen. Wenn man jetzt negative a,b,c, zulässt, wird es vermutlich auf ähnliche Rechnungen hinauslaufen, aber man muss eben alle 8 Kombinationen von negativ und nichtnegativ durchkauen.</p>
<p>Der Verdopplertrick ist dagegen VIEL eleganter :) Grats dazu.</p>
<p>Rolf</p>
https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676634#m1676634Der-Dennis2016-10-09T16:58:04Z2016-10-09T16:58:04ZMathematik zum Wochenende<p>Hallo Matthias,</p>
<blockquote>
<p>Ja, das ist geschickter als mein Beweis.</p>
</blockquote>
<p>freut mich! Dann stimmt das Sprichwort ja, dass auch ein blindes Huhn mal nen Korn findet ;-)</p>
<blockquote>
<p>Die Aufgabe ist nicht von mir, ich weiß also nicht, warum die Einschränkungen da gemacht wurden.</p>
</blockquote>
<p>Vielleicht, weil wir die Frage nicht richtig gelesen haben? Als ich mir das gerade nochmal durchgelesen habe, ist mir aufgefallen, dass Du von „beliebigen nicht negativen Zahlen“ gesprochen hast. Ich bin bis gerade davon ausgegangen, dass das reelle Zahlen sind. Könnte das nicht bei komplexen Zahlen anders sein und daher die Einschränkung kommen?</p>
<p>Ich würde daher eine Anschlussfrage stellen: Beweisen oder widerlegen Sie, dass für beliebige nicht negative Zahlen $$a,b,c∈\mathbb{C}$$ folgende Ungleichung gilt:</p>
<p>$$ a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc $$</p>
<p>Gruß<br>
Dennis</p>
https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676614#m1676614Gunnar Bittersmannselfhtml@bittersmann.dehttp://bittersmann.de2016-10-08T19:53:29Z2016-10-08T19:53:29ZMathematik zum Wochenende<p>@@Matthias Apsel</p>
<blockquote>
<p>Nächstes Wochenende wieder?</p>
</blockquote>
<p>Wer auch zwischen den Wochenenden mathematische Knobelaufgaben haben möchte, sollte <a href="https://twitter.com/Five_Triangles" rel="nofollow noopener noreferrer">@Five_Triangles</a> auf Twitter folgen. Da sind mitunter wirklich knifflige dabei.</p>
<p>LLAP </p>
<div class="signature">-- <br>
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https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676642#m1676642Der-Dennis2016-10-09T17:47:21Z2016-10-09T17:47:21ZMathematik zum Wochenende<p>Hallo Matthias,</p>
<blockquote>
<p>Den beiden positiven Bewertungen entnehme ich, dass es Spaß gemacht hat. Nächstes Wochenende wieder?</p>
</blockquote>
<p>ich fände das super! Danke für das Rätsel.</p>
<p>Gruß<br>
Dennis</p>
https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676609#m1676609Matthias Apselmatthias.apsel@selfhtml.orghttp://brückentage.info2016-10-08T18:43:24Z2016-10-08T18:43:24ZMathematik zum Wochenende<p>Hallo Rolf b,</p>
<p>Man brauch übrigens nicht zwischen Fall 2a und 2b zu unterscheiden. Du kannst ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass a=b≠c ist.</p>
<blockquote>
<p>Fall 4 habe ich dann so gerechnet:</p>
</blockquote>
<p>Ich auch.</p>
<p>Bis demnächst<br>
Matthias</p>
<div class="signature">-- <br>
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https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676639#m1676639Der-Dennis2016-10-09T17:37:15Z2016-10-09T17:37:15ZMathematik zum Wochenende<p>Hallo Rolf,</p>
<blockquote>
<p>Die Verdoppelung ist ziemlich schlau :)</p>
</blockquote>
<p>finde ich auch :-) Ich bin da aber wie „die Jungfrau zum Kinde“ hin gekommen und die Idee werden bestimmt auch schon andere gehabt haben. Ich hab zuerst versucht das mit vollständiger Induktion zu lösen. Wie <a href="https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676593#m1676593" rel="noopener noreferrer">Matthias schon sagte</a> kommt man damit aber überhaupt nicht weiter (wieder was gelernt!).</p>
<p>Danach hab ich's dann mehrfach mit den Fallunterscheidungen versucht (nachdem Matthias mir den Tipp gegeben hatte), bin aber kläglich daran gescheitert. Fall 1 ($$a=b=c$$) und Fall 2 ($$a=b\neq c$$) gingen noch problemlos. Bei Fall 3 ($$a\neq b\neq c$$) bin ich dann aber gar nicht mehr weiter gekommen. Entweder hab ich mich irgendwo verrechnet oder ich konnte nichts beweisen. Oder ich hab mal wieder bewiesen, dass $$1 \ge 1 $$ ist. Ich weiß nicht, wie oft ich das schon bewiesen habe, weil ich irgendwo Fehler gemacht habe… (Auch beliebt: $$0=0$$)</p>
<p>Bei einem (fehlerhaften) Versuch mit quadratischer Ergänzung oder wie das heißt war da aber auf einmal bei fast jeder Variable der Faktor 2 drin. Ich hab dann ganz stumpf einfach mal ausprobiert, was passiert, wenn ich alles mal zwei nehme. Die Zwei „musste“ ja rein, zumindest ging ich davon aus, weil die Aufgabe ja sehr nach Binomischem Lehrsatz aussah. Und konnte dann gar nicht glauben, dass da tatsächlich etwas Sinnvolles bei rauskommt :-)</p>
<p>Danach fand ich übrigens amüsant, dass ich mich zuvor geärgert hatte, weil ich in dem <a href="https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676592#m1676592" rel="noopener noreferrer">ersten Posting</a> „also mit 2 multiplizieren“ geschrieben hatte. Sollte nämlich eigentlich heißen, dass ich vermute, da gehört irgendwo eine $$2$$ rein und das wahrscheinlich mittels einer Ergänzung, nicht einer Multiplikation. Ich konnte das Posting dann aber leider nicht mehr editieren. Das genau der Punkt aber eigentlich schon eine relativ elegante Lösung war, hab ich erst danach verstanden :-)</p>
<blockquote>
<p>Da Du nicht quadrierst und nicht mit den Variablen multiplizierst, sehe ich ebenfalls keinen Grund, die Variablen auf die nichtnegativen reellen Zahlen zu beschränken. Vielleicht wollte der Aufgabensteller Panik vermeiden, denn wenn man nicht auf den Verdopplertrick kommt, dann fängt man die wilden Fallunterscheidungen mit positiv und negativ an.</p>
</blockquote>
<p>Ja, das kann sehr gut sein! Ich stand jedenfalls kurz vor der Aufgabe, weil ich Fall 3 nicht hinbekommen habe.</p>
<blockquote>
<p>Ich hab's gerade mit den vier Fällen $$ a = b = c $$, $$ a > b = c $$, $$ a = b > c $$ und $$ a > b > c $$ durchgerechnet. Fall 1 ist trivial, Fall 2 und Fall 3 laufen schnell auf $$ (a-b)^2\geq 0 $$ und $$(a-c)^2 \geq 0 $$ hinaus. Fall 4 habe ich dann so gerechnet:</p>
<p>$$ a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc $$<br>
$$ \Longleftrightarrow a^2+b^2+c^2 -2ab-c^2 \geq ab+ac+bc -2ab-c^2 $$<br>
$$ \Longleftrightarrow a^2-2ab + b^2 +c^2 -c^2 \geq ac-ab+bc -c^2 $$<br>
$$ \Longleftrightarrow (a-b)^2 \geq a(c-b)+c(b -c) $$<br>
$$ \Longleftrightarrow (a-b)^2 \geq a(c-b)-c(c -b) $$<br>
$$ \Longleftrightarrow \underbrace{(a-b)^2}<em>{\gt0} \geq \underbrace{(a-c)}</em>{\gt0}\underbrace{(c-b)}_{\lt0} $$</p>
<p>Und jetzt steht links eine positive Zahl, rechts eine negative Zahl (weil a>c und b>c) und damit sind die vier Fälle bewiesen. Wenn man jetzt negative a,b,c, zulässt, wird es vermutlich auf ähnliche Rechnungen hinauslaufen, aber man muss eben alle 8 Kombinationen von negativ und nichtnegativ durchkauen.</p>
</blockquote>
<p>Sehr schön! Danke! Jetzt seh ich auch, wie man das mit einer Fallunterscheidung hinbekommt. Ich hab zwar verschiedene Ergänzungen ausprobiert, auf diese Variante bin ich aber nicht gekommen!</p>
<p>Gruß<br>
Dennis</p>
https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676613#m1676613Tabellenkalk2016-10-08T19:45:37Z2016-10-08T19:45:37ZMathematik zum Wochenende<p>Hallo,</p>
<blockquote>
<p>Ich weiß nicht, was Der-Dennis da zusammengeschrieben hat;</p>
</blockquote>
<p>Dann lies es dir halt durch!</p>
<blockquote>
<p>bei mir ist’s ein Dreizeiler:</p>
<p>(<em>a</em> − <em>b</em>)² + (<em>a</em> − <em>c</em>)² + (<em>b</em> − <em>c</em>)² ≥ 0<br>
<em>a_² − 2_ab</em> + <em>b_² + <em>a_² − 2_ac</em> + <em>c_² + <em>b_² − 2_bc</em> + <em>c_² ≥ 0<br>
2_a_² + 2_b_² + 2_c_² ≥ 2_ab</em> + 2_ac</em> + 2_bc</em><br>
Das Durchzweiteilen überlasse ich euch.</p>
</blockquote>
<p>Hm, ich seh da vier Zeilen</p>
<p>Gruß<br>
Kalk</p>
https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676621#m1676621Rolf b2016-10-08T23:13:42Z2016-10-08T23:13:42ZMathematik zum Wochenende<p>Gunnar, deins ist genau das gleiche wie Dennis' , nur in anderer Richtung gerechnet und weniger Zwischenschritte aufgeschrieben :)</p>
<p>Rolf</p>
https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676615#m1676615Gunnar Bittersmannselfhtml@bittersmann.dehttp://bittersmann.de2016-10-08T20:03:41Z2016-10-08T20:03:41ZMathematik zum Wochenende<p>@@Tabellenkalk</p>
<blockquote>
<blockquote>
<p>Ich weiß nicht, was Der-Dennis da zusammengeschrieben hat;</p>
</blockquote>
<p>Dann lies es dir halt durch!</p>
</blockquote>
<p>TL;DR.</p>
<blockquote>
<blockquote>
<p>bei mir ist’s ein Dreizeiler:</p>
<p>(<em>a</em> − <em>b</em>)² + (<em>a</em> − <em>c</em>)² + (<em>b</em> − <em>c</em>)² ≥ 0<br>
<em>a_² − 2_ab</em> + <em>b_² + <em>a_² − 2_ac</em> + <em>c_² + <em>b_² − 2_bc</em> + <em>c_² ≥ 0<br>
2_a_² + 2_b_² + 2_c_² ≥ 2_ab</em> + 2_ac</em> + 2_bc</em><br>
Das Durchzweiteilen überlasse ich euch.</p>
</blockquote>
<p>Hm, ich seh da vier Zeilen</p>
</blockquote>
<p>Ich ändere die letzte Zeile in<br>
<em>2</em>_a_² + <em>2</em>_b_² + <em>2</em>_c_² ≥ <em>2</em><em>ab</em> + <em>2</em><em>ac</em> + <em>2</em><em>bc</em><br>
;-b</p>
<p>LLAP </p>
<div class="signature">-- <br>
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</div>
https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676625#m1676625Gunnar Bittersmannselfhtml@bittersmann.dehttp://bittersmann.de2016-10-09T06:38:54Z2016-10-09T06:38:54ZMathematik zum Wochenende<p>@@Rolf b</p>
<blockquote>
<p>Gunnar, deins ist genau das gleiche wie Dennis'</p>
</blockquote>
<p>Ach‽ ;-)</p>
<blockquote>
<p>nur in anderer Richtung gerechnet</p>
</blockquote>
<p>Ich finde es eleganter, von der Binsenweisheit auszugehen und daraus das Gewünschte abzuleiten.</p>
<blockquote>
<p>und weniger Zwischenschritte aufgeschrieben :)</p>
</blockquote>
<p>Aus den Zwischenschritten muss der Gedankengang nachvollziehbar sein. So viele Zwischenschritte wie dazu nötig, aber nicht mehr.</p>
<p>LLAP </p>
<div class="signature">-- <br>
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https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676626#m1676626Gunnar Bittersmannselfhtml@bittersmann.dehttp://bittersmann.de2016-10-09T06:53:36Z2016-10-09T06:53:36ZMathematik zum Wochenende<p>@@Gunnar Bittersmann</p>
<blockquote>
<p>Mit der Einschränkung auf nichtnegative Zahlen kann man das wunderschön ohne zu rechnen geometrisch beweisen:</p>
</blockquote>
<p>Man könnte denken, bei der Zeichnung bin ich stillschweigend von positiven Zahlen ausgegangen.</p>
<blockquote>
<p>(Bei Gleichheit zweier Längen gibt es halt keinen Streifen.)</p>
</blockquote>
<p>Bei einer Länge von 0 gibt es gar nicht erst das Quadrat.</p>
<p>Vielleicht muss man hier eine Fallunterscheidung machen, vielleicht aber auch nicht und man kann das in einen Satz so formulieren, dass er alle Fälle abdeckt.</p>
<p>LLAP </p>
<div class="signature">-- <br>
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https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676640#m1676640Der-Dennis2016-10-09T17:46:16Z2016-10-09T17:46:16ZMathematik zum Wochenende<p>Hallo Gunnar,</p>
<blockquote>
<p>Aus den Zwischenschritten muss der Gedankengang nachvollziehbar sein. So viele Zwischenschritte wie dazu nötig, aber nicht mehr.</p>
</blockquote>
<p>auch wenn Du mit der Meinung in guter Gesellschaft bist, finde ich das nicht. Das Problem ist, das selbst einfache Umformungen schwierig nachzuvollziehen sein können, wenn sie nicht erwähnt werden. Die Nachvollziehbarkeit kann außerdem von Leser zu Leser anders sein. Ich bin daher dafür, alles möglichst detailliert zu zeigen - sofern das möglich ist.</p>
<p>Ich will gar nicht wissen, wie viele (Mann-) Stunden / Tage / Monate / Jahre jedes Jahr allein an Unis in den Wind geschossen werden, weil irgendjemand versucht nachzuvollziehen, was jemand anderes sich dabei gedacht hat. Und das sind nicht alles Idioten. Und der Schreiber ging davon aus, dass sein Gedankengang nachvollziehbar sei. Offensichtich in vielen Fällen nicht. Wenn mehrere Schritte fehlen, kommt man aber halt einfach oft nicht darauf, auch wenn es nur ein „mal zwei“ ist.</p>
<p>Gruß
Dennis</p>
https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676635#m1676635Matthias Apselmatthias.apsel@selfhtml.orghttp://brückentage.info2016-10-09T17:11:40Z2016-10-09T17:11:40ZMathematik zum Wochenende<p>Hallo Der-Dennis,</p>
<blockquote>
<p>Ich würde daher eine Anschlussfrage stellen: Beweisen oder widerlegen Sie, dass für beliebige nicht negative Zahlen $$a,b,c∈\mathbb{C}$$ folgende Ungleichung gilt:</p>
<p>$$ a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc $$</p>
</blockquote>
<p>Diese Fragestellung ist sinnlos. Innerhalb der komplexen Zahlen gibt es weder eine Ordnungsrelation noch können sie negativ sein.</p>
<p>Bis demnächst<br>
Matthias</p>
<div class="signature">-- <br>
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https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676636#m1676636Der Martin2016-10-09T17:15:41Z2016-10-09T17:15:41ZMathematik zum Wochenende<p>Hallo,</p>
<blockquote>
<p>freut mich! Dann stimmt das Sprichwort ja, dass auch ein blindes Huhn mal nen Korn findet ;-)</p>
</blockquote>
<p>das Sprichwort ist falsch zitiert. Es muss heißen: Auch ein blinder Säufer findet mal 'nen Korn.<br>
Beim Huhn war es <strong>das</strong> Korn, nicht <strong>der</strong> Korn.</p>
<blockquote>
<p>Als ich mir das gerade nochmal durchgelesen habe, ist mir aufgefallen, dass Du von „beliebigen nicht negativen Zahlen“ gesprochen hast. Ich bin bis gerade davon ausgegangen, dass das reelle Zahlen sind.</p>
</blockquote>
<p>Sollten sie wohl auch sein, und dass die Einschränkung auf positive Zahlen nicht nötig ist, hat Gunnar schon gezeigt.</p>
<blockquote>
<p>Könnte das nicht bei komplexen Zahlen anders sein und daher die Einschränkung kommen?</p>
</blockquote>
<p>Ja. Aber bei komplexen Zahlen gibt es kein "negativ" oder "positiv".</p>
<blockquote>
<p>Ich würde daher eine Anschlussfrage stellen: Beweisen oder widerlegen Sie, dass für beliebige nicht negative Zahlen $$a,b,c∈\mathbb{C}$$ folgende Ungleichung gilt:</p>
<p>$$ a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc $$</p>
</blockquote>
<p>Das wird nichts. Denn AFAIK ist für komplexe Zahlen die Größer- oder Kleiner-Relation nicht definiert. Höchstens für ihren Real- oder Imaginärteil, oder für ihren Betrag oder ihren Winkel.</p>
<p>Ciao,<br>
Martin</p>
<div class="signature">-- <br>
Es gibt eine Theorie, die besagt, dass das Universum augenblicklich durch etwas noch Komplizierteres und Verrücktes ersetzt wird, sobald jemand herausfindet, wie es wirklich funktioniert. Es gibt eine weitere Theorie, derzufolge das bereits geschehen ist.<br>
- (frei übersetzt nach Douglas Adams)
</div>
https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676644#m1676644Der-Dennis2016-10-09T17:50:35Z2016-10-09T17:50:35ZMathematik zum Wochenende<p>Hallo Matthias,</p>
<blockquote>
<blockquote>
<p>Ich würde daher eine Anschlussfrage stellen: Beweisen oder widerlegen Sie, dass für beliebige nicht negative Zahlen $$a,b,c∈\mathbb{C}$$ folgende Ungleichung gilt:</p>
<p>$$ a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc $$</p>
</blockquote>
<p>Diese Fragestellung ist sinnlos. Innerhalb der komplexen Zahlen gibt es weder eine Ordnungsrelation noch können sie negativ sein.</p>
</blockquote>
<p>ja, korrekt. Da war ich zu vorschnell. Sorry. Dann wäre aber wirklich die Frage, warum die Einschränkungen gemacht wurden.</p>
<p>Gruß<br>
Dennis</p>
https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676646#m1676646Der-Dennis2016-10-09T17:53:20Z2016-10-09T17:53:20ZMathematik zum Wochenende<p>Hallo Martin,</p>
<blockquote>
<blockquote>
<p>freut mich! Dann stimmt das Sprichwort ja, dass auch ein blindes Huhn mal nen Korn findet ;-)</p>
</blockquote>
<p>das Sprichwort ist falsch zitiert. Es muss heißen: Auch ein blinder Säufer findet mal 'nen Korn.<br>
Beim Huhn war es <strong>das</strong> Korn, nicht <strong>der</strong> Korn.</p>
</blockquote>
<p>:-)</p>
<blockquote>
<blockquote>
<p>Könnte das nicht bei komplexen Zahlen anders sein und daher die Einschränkung kommen?</p>
</blockquote>
<p>Ja. Aber bei komplexen Zahlen gibt es kein "negativ" oder "positiv".</p>
<blockquote>
<p>Ich würde daher eine Anschlussfrage stellen: Beweisen oder widerlegen Sie, dass für beliebige nicht negative Zahlen $$a,b,c∈\mathbb{C}$$ folgende Ungleichung gilt:</p>
<p>$$ a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc $$</p>
</blockquote>
<p>Das wird nichts. Denn AFAIK ist für komplexe Zahlen die Größer- oder Kleiner-Relation nicht definiert. Höchstens für ihren Real- oder Imaginärteil, oder für ihren Betrag oder ihren Winkel.</p>
</blockquote>
<p>Ja, vollkommen richtig. Wie ich gerade Matthias schon geantwortet hab, war das vorschnell und dämlich :-)</p>
<p>Gruß<br>
Dennis</p>
https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676656#m1676656Gunnar Bittersmannselfhtml@bittersmann.dehttp://bittersmann.de2016-10-09T23:16:39Z2016-10-09T23:16:39ZMathematik zum Wochenende<p>@@Der-Dennis</p>
<blockquote>
<blockquote>
<p>Aus den Zwischenschritten muss der Gedankengang nachvollziehbar sein. So viele Zwischenschritte wie dazu nötig, aber nicht mehr.</p>
</blockquote>
<p>auch wenn Du mit der Meinung in guter Gesellschaft bist, finde ich das nicht.</p>
</blockquote>
<p>Ich denke doch, dass du das auch findest. Wir unterscheiden uns in der Ansicht, wie viele Zwischenschritte nötig sind.</p>
<p>Und das hängt vom Zielpublikum ab. Im Matheunterricht, wo die größere Hälfte der Klasse<sup class="footnote-ref"><a href="#fn1" id="fnref1">[1]</a></sup> denkt „hä?“, sind das sicher mehr als bei denen, die diesem Thread folgen.</p>
<p>War denn bei <a href="https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676612#m1676612" rel="noopener noreferrer">meinem Dreizeiler</a> irgendein Schritt nicht nachvollziehbar?</p>
<p>Vielleicht hätte es auch eine Zeile mehr sein können:<br>
(<em>a</em> − <em>b</em>)² + (<em>a</em> − <em>c</em>)² + (<em>b</em> − <em>c</em>)² ≥ 0<br>
<em>a_² − 2_ab</em> + <em>b_² + <em>a_² − 2_ac</em> + <em>c_² + <em>b_² − 2_bc</em> + <em>c_² ≥ 0<br>
2_a_² + 2_b_² + 2_c_² − 2_ab</em> − 2_ac</em> − 2_bc</em> ≥ 0<br>
<em>2</em>_a_² + <em>2</em>_b_² + <em>2</em>_c_² ≥ <em>2</em><em>ab</em> + <em>2</em><em>ac</em> + <em>2</em><em>bc</em></p>
<blockquote>
<p>Ich bin daher dafür, alles möglichst detailliert zu zeigen - sofern das möglich ist.</p>
</blockquote>
<p>Damit verlierst du evtl. Teile des Zielpublikums, die bspw. nicht erklärt haben wollen, wie eine Klammer aufgelöst wird, vor der ein + steht.</p>
<blockquote>
<p>… weil irgendjemand versucht nachzuvollziehen, was jemand anderes sich dabei gedacht hat. … Wenn mehrere Schritte fehlen, kommt man aber halt einfach oft nicht darauf</p>
</blockquote>
<p>Darin besteht die Kunst des „So viele wie nötig, so wenige wie möglich“. Der Übergang von einer Zeile zur nächsten sollte jeweils nachvollziehbar sein.</p>
<p>LLAP </p>
<div class="signature">-- <br>
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</div>
<hr class="footnotes-sep">
<section class="footnotes">
<ol class="footnotes-list">
<li id="fn1" class="footnote-item"><p>Der ist bekannt, oder? <a href="#fnref1" class="footnote-backref">↩︎</a></p>
</li>
</ol>
</section>
https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676647#m1676647Matthias Apselmatthias.apsel@selfhtml.orghttp://brückentage.info2016-10-09T17:55:38Z2016-10-09T17:55:38ZMathematik zum Wochenende<p>Hallo Der-Dennis,</p>
<blockquote>
<p>Dann wäre aber wirklich die Frage, warum die Einschränkungen gemacht wurden.</p>
</blockquote>
<p>Das war Aufgabe 42c. Die Beweise bei 42a und b benötigen die Einschränkung.</p>
<p>Bis demnächst<br>
Matthias</p>
<div class="signature">-- <br>
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https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676650#m1676650Gunnar Bittersmannselfhtml@bittersmann.dehttp://bittersmann.de2016-10-09T20:26:34Z2016-10-09T20:27:52ZMathematik zum Wochenende<p>@@Der-Dennis</p>
<blockquote>
<p>Dann wäre aber wirklich die Frage, warum die Einschränkungen gemacht wurden.</p>
</blockquote>
<p>Damit man auf die <a href="https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676624#m1676624" rel="noopener noreferrer">Idee</a> kommt, _a_², _b_², _c_² als Flächen von Quadraten und <em>ab</em>, <em>ac</em>, <em>bc</em> als Flächen von Rechtecken zu verstehen?</p>
<p>LLAP </p>
<div class="signature">-- <br>
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https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676649#m1676649Matthias Apselmatthias.apsel@selfhtml.orghttp://brückentage.info2016-10-09T19:25:02Z2016-10-09T19:25:02ZMathematik zum Wochenende<p>Hallo Matthias Apsel,</p>
<blockquote>
<p>Das war Aufgabe 42c. Die Beweise bei 42a und b benötigen die Einschränkung.</p>
</blockquote>
<p>Bei 42a dürfen es sogar nur positive Zahlen sein. Ich hätte sie nicht ignorieren sollen ;-) Dann hätte ich bestimmt DesDennis' Lösungsweg gesehen. Aber dann wäre die Aufgabe wahrscheinlich auch nicht hier gelandet.</p>
<p>42a Man zeige, dass</p>
<p>$$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$$</p>
<p>Bis demnächst<br>
Matthias</p>
<div class="signature">-- <br>
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https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676654#m1676654Gunnar Bittersmannselfhtml@bittersmann.dehttp://bittersmann.de2016-10-09T22:53:19Z2016-10-09T22:55:13ZMathematik zum Wochenende<p>@@Matthias Apsel</p>
<blockquote>
<p>42a Man zeige, dass</p>
<p>$$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$$</p>
</blockquote>
<p>Der algebraische Weg sollte offensichtlich sein. Es geht aber auch hier geometrisch, Strahlensatz reicht.</p>
<p>O.B.d.A. <em>a</em> ≥ <em>b</em>. Ich betrachte den Fall <em>a</em> ≥ <em>b</em> > 1:</p>
<p><img src="/images/2596be66-9923-42ca-a784-6bda4edb2098.jpg" alt="Skizze" loading="lazy"></p>
<p>Die Punkte <em>A</em> und <em>B</em> liegen auf verschiedenen Schenkeln eines Winkels, so dass die Längen <em>OA</em> = <em>a</em> und <em>OB</em> = <em>b</em> sind. Die Punkte <em>E</em> und <em>F</em> sind jeweils eine Längeneinheit vom Scheitel entfernt: <em>OE</em> = <em>OF</em> = 1.</p>
<p>Die Parallele zu <em>AB</em> durch <em>E</em> schneide den anderen Schenkel in <em>Q</em>, die Parallele zu <em>AB</em> durch <em>F</em> schneide den anderen Schenkel in <em>P</em>.</p>
<p>Für <em>a</em> > <em>b</em> liegt <em>P</em> zwischen <em>E</em> und <em>A</em> und <em>Q</em> zwischen <em>O</em> und <em>F</em>. Die Längen seien <em>EP</em> = <em>p</em> und <em>QF</em> = <em>q</em>.</p>
<p>Für <em>a</em> = <em>b</em> fällt <em>P</em> mit <em>E</em> und <em>Q</em> mit <em>F</em> zusammen, d.h. <em>p</em> = <em>q</em> = 0.</p>
<p>Nach Strahlensatz gilt:<br>
$$\frac{OP}{OF} = \frac{OA}{OB}$$, also $$\frac{OP}{1} = \frac{a}{b}$$<br>
und<br>
$$\frac{OQ}{OE} = \frac{OB}{OA}$$, also $$\frac{OQ}{1} = \frac{b}{a}$$</p>
<p>Außerdem:<br>
$$\frac{EP}{QF} = \frac{OA}{OB}$$, also $$\frac{p}{q} = \frac{a}{b}$$, d.h. wegen <em>a</em> ≥ <em>b</em> gilt <em>p</em> ≥ <em>q</em>, also <em>p</em> − <em>q</em> ≥ 0.</p>
<p>Nun ist<br>
<em>OP</em> + <em>OQ</em> = <em>OE</em> + <em>EP</em> + <em>OF</em> − <em>QF</em>, also $$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 1 + p + 1 - q = 2 + p - q ≥ 2 + 0$$.</p>
<p>Entsprechend wären noch die Fälle <em>a</em> ≥ 1 ≥ <em>b</em> und 1 > <em>a</em> ≥ <em>b</em> zu betrachten.</p>
<p>LLAP </p>
<div class="signature">-- <br>
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https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676651#m1676651Der-Dennis2016-10-09T21:14:11Z2016-10-09T21:14:11ZMathematik zum Wochenende<p>Hallo Gunnar,</p>
<blockquote>
<blockquote>
<p>Dann wäre aber wirklich die Frage, warum die Einschränkungen gemacht wurden.</p>
</blockquote>
<p>Damit man auf die <a href="https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676624#m1676624" rel="noopener noreferrer">Idee</a> kommt, _a_², _b_², _c_² als Flächen von Quadraten und <em>ab</em>, <em>ac</em>, <em>bc</em> als Flächen von Rechtecken zu verstehen?</p>
</blockquote>
<p>das ist natürlich ein Argument. Ich hatte mich nur gewundert, weil solche Aufgaben ja meistens maximal einschränkend formuliert sind. Und aus der Erfahrung heraus hat man eigentlich immer was nicht bedacht, wenn man irgendeine Information nicht benötigt.</p>
<p>Deine Skizze ist übrigens schick und überzeugend. Gute Herangehensweise! Da wär ich nicht drauf gekommen, dass man das so anschaulich zeigen könnte.</p>
<p>Ich bin aber mal auf Dein Bild gespannt, wenn Matthias das nächste Mal eine Aufgabe stellen sollte, welche einen Exponenten größer 3 beinhaltet ;-)</p>
<p>Gruß<br>
Dennis</p>
https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676652#m1676652Der Martin2016-10-09T21:47:07Z2016-10-09T21:47:07ZMathematik zum Wochenende<p>Hallo,</p>
<blockquote>
<p>Ich hatte mich nur gewundert, weil solche Aufgaben ja meistens maximal einschränkend formuliert sind. Und aus der Erfahrung heraus hat man eigentlich immer was nicht bedacht, wenn man irgendeine Information nicht benötigt.</p>
</blockquote>
<p>das kann ich aus meiner Erfahrung nicht unbedingt bestätigen. Ich habe in meinem Studium <strong>zwei</strong> Profs erlebt, die in ihren Prüfungsaufgaben gern Informationen gaben, die für die Aufgabe völlig irrelevant waren. Man musste sich seiner Sache also sicher genug sein, so dass man diese Angaben gezielt ignorieren konnte. Wer anfing zu überlegen, wofür man denn diese zusätzliche Info noch bräuchte, hatte eigentlich schon verloren.<br>
Das entspricht aber durchaus der Realität, wo man auch oft eine Fülle von Beobachtungen oder Messwerten hat, und zunächst mal die Spreu vom Weizen trennen muss: Was brauche ich, was ist überflüssig?</p>
<blockquote>
<p>Deine Skizze ist übrigens schick und überzeugend. Gute Herangehensweise! Da wär ich nicht drauf gekommen, dass man das so anschaulich zeigen könnte.</p>
</blockquote>
<p>Wäre mir auch nicht eingefallen, obwohl ich ein ausgesprochener Freund von <strong>anschaulichen</strong> Lösungen oder Erklärungen bin.</p>
<blockquote>
<p>Ich bin aber mal auf Dein Bild gespannt, wenn Matthias das nächste Mal eine Aufgabe stellen sollte, welche einen Exponenten größer 3 beinhaltet ;-)</p>
</blockquote>
<p>Ich bin zuversichtlich, dass Gunnar dann eine Skizze der vierdimensionalen Raumzeit macht. ;-)</p>
<p>Ciao,<br>
Martin</p>
<div class="signature">-- <br>
Es gibt eine Theorie, die besagt, dass das Universum augenblicklich durch etwas noch Komplizierteres und Verrücktes ersetzt wird, sobald jemand herausfindet, wie es wirklich funktioniert. Es gibt eine weitere Theorie, derzufolge das bereits geschehen ist.<br>
- (frei übersetzt nach Douglas Adams)
</div>
https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676658#m1676658Matthias Apselmatthias.apsel@selfhtml.orghttp://brückentage.info2016-10-10T04:23:48Z2016-10-10T04:23:48ZMathematik zum Wochenende<p>Hallo Der-Dennis,</p>
<blockquote>
<p>Ich bin aber mal auf Dein Bild gespannt, wenn Matthias das nächste Mal eine Aufgabe stellen sollte, welche einen Exponenten größer 3 beinhaltet ;-)</p>
</blockquote>
<p>Bis drei <a href="https://twitter.com/anatudor/status/781250429606920192" rel="nofollow noopener noreferrer">wäre ja kein Problem</a>.</p>
<p>Bis demnächst<br>
Matthias</p>
<div class="signature">-- <br>
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https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676659#m1676659Matthias Apselmatthias.apsel@selfhtml.orghttp://brückentage.info2016-10-10T04:26:33Z2016-10-10T04:26:33ZMathematik zum Wochenende<p>Hallo Gunnar Bittersmann,</p>
<blockquote>
<p>Der algebraische Weg sollte offensichtlich sein.</p>
</blockquote>
<p>Ist er.</p>
<blockquote>
<p>Es geht aber auch hier geometrisch, Strahlensatz reicht.</p>
</blockquote>
<p>Schick.</p>
<p>Bis demnächst<br>
Matthias</p>
<div class="signature">-- <br>
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https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676683#m1676683Rolf b2016-10-10T09:08:36Z2016-10-10T09:08:36ZMathematik zum Wochenende<p>Wenn ich Äquivalenzketten per Hand schreibe, dann mache ich rechts neben eine Zeile einen senkrechten Strich und führe dahinter die Operation auf, die ich für den Übergang zum nächsten Schritt mache. Dann weiß der Leser, auf welche Änderung es hinausläuft. Fehlen diese Vermerke, kann es sinnvoll sein, sind mehr Schritte schon sinnvoll.</p>
<p>Wäre diese Schreibweise mit diesem Inline-TeX hier machbar? Ich hab davon GAR keine Ahnung; das, was ich oben geschrieben habe, habe ich aus euren Beiträgen zusammengeklaubt :)</p>
<p>Rolf</p>
https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676660#m1676660Gunnar Bittersmannselfhtml@bittersmann.dehttp://bittersmann.de2016-10-10T04:58:40Z2016-10-10T04:58:40ZMathematik zum Wochenende<p>@@Matthias Apsel</p>
<blockquote>
<blockquote>
<p>Der algebraische Weg sollte offensichtlich sein.</p>
</blockquote>
<p>Ist er.</p>
</blockquote>
<p>Da wird auch offensichtlich, warum <em>a</em> und <em>b</em> positiv sein sollen. Obwohl: Sie könnten auch beide negativ sein.</p>
<p>LLAP </p>
<div class="signature">-- <br>
<em>“I love to go to JS conferences to speak about how to avoid using JavaScript. Please learn CSS & HTML to reduce your JS code bloat.”</em> —Estelle Weyl
</div>
https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676661#m1676661Gunnar Bittersmannselfhtml@bittersmann.dehttp://bittersmann.de2016-10-10T05:06:26Z2016-10-10T05:06:26ZMathematik zum Wochenende<p>@@Matthias Apsel</p>
<blockquote>
<blockquote>
<p>Es geht aber auch hier geometrisch, Strahlensatz reicht.</p>
</blockquote>
<p>Schick.</p>
</blockquote>
<p>Nicht ganz. Ein Fehler ist drin. Wer findet ihn?</p>
<p>LLAP </p>
<div class="signature">-- <br>
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</div>
https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676667#m1676667Tabellenkalk2016-10-10T07:59:23Z2016-10-10T07:59:23ZMathematik zum Wochenende<p>Hallo,</p>
<blockquote>
<p>Nicht ganz. Ein Fehler ist drin. Wer findet ihn?</p>
</blockquote>
<p>Ist das Bild verzerrt, oder warum ist bei Dir 1 unterschiedlich groß?</p>
<p>Gruß<br>
Kalk</p>
https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676701#m1676701Matthias Apselmatthias.apsel@selfhtml.orghttp://brückentage.info2016-10-10T11:10:36Z2016-10-10T11:10:36ZMathematik zum Wochenende<p>Hallo Gunnar Bittersmann,</p>
<blockquote>
<p>Nicht ganz. Ein Fehler ist drin. Wer findet ihn?</p>
</blockquote>
<p>Ich nicht. Klär uns auf.</p>
<p>Bis demnächst<br>
Matthias</p>
<div class="signature">-- <br>
Dieses Forum nutzt Markdown. Im <a href="https://wiki.selfhtml.org" rel="nofollow noopener noreferrer">Wiki</a> erhalten Sie <a href="https://wiki.selfhtml.org/wiki/SELFHTML:Forum/Formatierung_der_Beitr%C3%A4ge" rel="nofollow noopener noreferrer">Hilfe bei der Formatierung Ihrer Beiträge</a>.
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https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676670#m1676670Gunnar Bittersmannselfhtml@bittersmann.dehttp://bittersmann.de2016-10-10T08:06:21Z2016-10-10T08:06:21ZMathematik zum Wochenende<p>@@Tabellenkalk</p>
<blockquote>
<blockquote>
<p>Nicht ganz. Ein Fehler ist drin. Wer findet ihn?</p>
</blockquote>
<p>Ist das Bild verzerrt, oder warum ist bei Dir 1 unterschiedlich groß?</p>
</blockquote>
<p>Das Bild ist eine Skizze, da dürfen Verzerrungen sein. Der Fehler ist anderer Natur.</p>
<p>LLAP </p>
<div class="signature">-- <br>
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https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676684#m1676684Christian Krusehttps://wwwtech.de/about2016-10-10T09:15:29Z2016-10-10T09:15:29ZMathematik zum Wochenende<p>Hallo Rolf,</p>
<blockquote>
<p>Wäre diese Schreibweise mit diesem Inline-TeX hier machbar? Ich hab davon GAR keine Ahnung; das, was ich oben geschrieben habe, habe ich aus euren Beiträgen zusammengeklaubt :)</p>
</blockquote>
<p>$$
x * 4 = 12 \mid \div 4<br>
x = 3
$$</p>
<p>LG,<br>
CK</p>
<div class="signature">-- <br>
<a href="https://wwwtech.de/about" rel="noopener noreferrer">https://wwwtech.de/about</a>
</div>
https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676697#m1676697Matthias Apselmatthias.apsel@selfhtml.orghttp://brückentage.info2016-10-10T10:57:24Z2016-10-10T10:57:24ZMathematik zum Wochenende<p>Hallo Rolf b,</p>
<blockquote>
<p>dann mache ich rechts neben eine Zeile einen senkrechten Strich und führe dahinter die Operation auf, die ich für den Übergang zum nächsten Schritt mache.</p>
</blockquote>
<p>Ich nenne ihn Arbeitsstrich.</p>
<p>$$
\begin{align}
x \cdot 4 &= 12 \mid :4 <br>
x &= 3
\end{align}
$$</p>
<p>Neben dem Arbeitsstrich steht, was ich <strong>auf beiden Seiten</strong> der (Un-)gleichung machen möchte.</p>
<p>Bis demnächst<br>
Matthias</p>
<div class="signature">-- <br>
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https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676704#m1676704Rolf b2016-10-10T11:36:59Z2016-10-10T11:36:59ZMathematik zum Wochenende<p>Danke an Christian und Matthias.</p>
<p>Zu der Debatte $$ * $$ vs $$\cdot$$ vs $$\times $$: Ich würde dem Problem ausweichen und $$4x$$ schreiben :)</p>
https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676687#m1676687Gunnar Bittersmannselfhtml@bittersmann.dehttp://bittersmann.de2016-10-10T09:39:36Z2016-10-10T09:39:36ZMathematik zum Wochenende<p>@@Christian Kruse</p>
<blockquote>
<p>$$x * 4 = 12 \mid \div 4$$</p>
</blockquote>
<p>Wo wir bei TeX sind: Was soll der Stern-Operator da? Das Malzeichen × ist in TeX <code>\times</code>; bei uns ist aber eher der Mittelpunkt · <code>\cdot</code> üblich. Und für die Division der Doppelpunkt : anstatt ÷.</p>
<p>$$x \cdot 4 = 12 \mid , : 4$$</p>
<p>LLAP </p>
<div class="signature">-- <br>
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https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676695#m1676695Der Martin2016-10-10T10:43:03Z2016-10-10T10:43:03ZMathematik zum Wochenende<p>Hi,</p>
<blockquote>
<blockquote>
<p>$$x * 4 = 12 \mid \div 4$$</p>
</blockquote>
<p>Wo wir bei TeX sind: Was soll der Stern-Operator da? Das Malzeichen × ist in TeX <code>\times</code>; bei uns ist aber eher der Mittelpunkt · <code>\cdot</code> üblich.</p>
</blockquote>
<p>naja, <em>üblich</em> ist so eine Sache, das ist eine Frage der betrachteten Zielgruppe. In vielen (in den meisten?) Programmiersprachen ist der Stern das Symbol für Multiplikation, er wird aber immer häufiger auch außerhalb von Programmcode in der Bedeutung verwendet.</p>
<blockquote>
<p>Und für die Division der Doppelpunkt : anstatt ÷.</p>
</blockquote>
<p>Nein, bitte nicht der Doppelpunkt. Den haben unsere Mathelehrer am Gymnasium uns immer auszutreiben versucht. Das sei "Hausfrauenschreibweise"<sup class="footnote-ref"><a href="#fn1" id="fnref1">[1]</a></sup>, hieß es dann immer. Das bevorzugte Divisionszeichen sei der Bruchstrich; <em>notfalls</em> ein Schrägstrich (wenn's mit Text in einer Zeile stehen soll).</p>
<p>Das Symbol ÷ verwenden übrigens viele Ingenieure der Generation 60+ als Symbol für "von-bis", z.B. "Eingangsspannung 9÷18V=". Ob das früher mal in der Bedeutung üblich war? Keine Ahnung. Mein Vater tut das jedenfalls auch, und auch in seinen alten Vorlesungsscripten und Handnotizen taucht das häufig auf.</p>
<p>Ciao,<br>
Martin</p>
<div class="signature">-- <br>
Es gibt eine Theorie, die besagt, dass das Universum augenblicklich durch etwas noch Komplizierteres und Verrücktes ersetzt wird, sobald jemand herausfindet, wie es wirklich funktioniert. Es gibt eine weitere Theorie, derzufolge das bereits geschehen ist.<br>
- (frei übersetzt nach Douglas Adams)
</div>
<hr class="footnotes-sep">
<section class="footnotes">
<ol class="footnotes-list">
<li id="fn1" class="footnote-item"><p>Auch wenn genau daher die alte Faustregel "Punkt- vor Strichrechnung" kommt. <a href="#fnref1" class="footnote-backref">↩︎</a></p>
</li>
</ol>
</section>
https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676766#m16767661unitedpower2016-10-10T18:27:49Z2016-10-10T19:02:01ZMathematik zum Wochenende<blockquote>
<p>Wo wir bei TeX sind: Was soll der Stern-Operator da? Das Malzeichen × ist in TeX <code>\times</code>; bei uns ist aber eher der Mittelpunkt · <code>\cdot</code> üblich. Und für die Division der Doppelpunkt : anstatt ÷.</p>
<p>$$x \cdot 4 = 12 \mid , : 4$$</p>
</blockquote>
<p>Ich multipliziere dann gerne mit dem Kehrwert:</p>
<p>$$x \cdot 4 = 12 \mid , \cdot \frac{1}{4}$$</p>
<p>Aber es ist mir ziemlich egal, schließlich geht es dabei nur um Syntax nicht um Semantik.</p>
https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676699#m1676699Matthias Apselmatthias.apsel@selfhtml.orghttp://brückentage.info2016-10-10T11:01:49Z2016-10-10T11:01:49ZMathematik zum Wochenende<p>Hallo Der Martin,</p>
<blockquote>
<p>Nein, bitte nicht der Doppelpunkt. Den haben unsere Mathelehrer am Gymnasium uns immer auszutreiben versucht. Das sei "Hausfrauenschreibweise", hieß es dann immer. Das bevorzugte Divisionszeichen sei der Bruchstrich; <em>notfalls</em> ein Schrägstrich (wenn's mit Text in einer Zeile stehen soll).</p>
</blockquote>
<p>Ja, wenn es sich um einen Quotienten handelt ($$ 3 : 4$$ vs. $$\frac{3}{4}$$). Und dort ohne wenn und aber. „Schräge“ Bruchstriche sind bei mir nur in Baumdiagrammen erlaubt. Aber hinter dem Arbeitsstrich steht eben kein Quotient sondern eine Anweisung.</p>
<p>Bis demnächst<br>
Matthias</p>
<div class="signature">-- <br>
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https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676715#m1676715Rolf b2016-10-10T11:59:02Z2016-10-10T11:59:02ZMathematik zum Wochenende<p>Kannten eure Mathelehrer <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Geteiltzeichen#Geschichte_der_Symbole" rel="nofollow noopener noreferrer">Leibnitz</a> nicht? Der Divisionsdoppelpunkt ist durchaus üblich, zumindest habe ich ihn immer straflos verwendet. Kurzes Googlen findet z.B. <a href="http://www.grundschulstoff.de/arbeitsblaetter/mathematik/grundrechenarten/division/dividieren-bis-1000/8/download.html" rel="nofollow noopener noreferrer">dies</a>, anders kenne ich es eigentlich gar nicht.</p>
<p>Aber vielleicht ist es ja regional verschieden (insbesondere vor '89: BRD vs DDR)?</p>
<p>Rolf</p>
https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676763#m1676763Gunnar Bittersmannselfhtml@bittersmann.dehttp://bittersmann.de2016-10-10T18:06:24Z2016-10-10T18:06:24ZMathematik zum Wochenende<p>@@Der Martin</p>
<blockquote>
<p>In vielen (in den meisten?) Programmiersprachen ist der Stern das Symbol für Multiplikation, er wird aber immer häufiger auch außerhalb von Programmcode in der Bedeutung verwendet.</p>
</blockquote>
<p>Letzteres würde ich verneinen. Es sei denn, von Programmierern.</p>
<p>Andere missbrauchen eher ein anderes Zeichen als Malzeichen und wollen einem ein x für ein × vormachen.</p>
<blockquote>
<p>Das bevorzugte Divisionszeichen sei der Bruchstrich;</p>
</blockquote>
<p>Zur Erinnerung: Division wird lange vor Bruchrechnung gelehrt.</p>
<blockquote>
<p><em>notfalls</em> ein Schrägstrich (wenn's mit Text in einer Zeile stehen soll).</p>
</blockquote>
<p>Eine Quinte ist ein Frequenzverhältnis von 3/2? Oder doch 3 : 2?</p>
<p>LLAP </p>
<div class="signature">-- <br>
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https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676712#m1676712Gunnar Bittersmannselfhtml@bittersmann.dehttp://bittersmann.de2016-10-10T11:54:16Z2016-10-10T11:54:16ZMathematik zum Wochenende<p>@@Matthias Apsel</p>
<blockquote>
<blockquote>
<p>Nicht ganz. Ein Fehler ist drin. Wer findet ihn?</p>
</blockquote>
<p>Ich nicht. Klär uns auf.</p>
</blockquote>
<p>Hm.</p>
<blockquote>
<blockquote>
<blockquote>
<blockquote>
<p>Für <em>a</em> = <em>b</em> fällt <em>P</em> mit <em>E</em> und <em>Q</em> mit <em>F</em> zusammen, d.h. <em>p</em> = <em>q</em> = 0. […]</p>
<p>$$\frac{EP}{QF} = \frac{OA}{OB}$$, also $$\frac{p}{q} = \frac{a}{b}$$</p>
</blockquote>
</blockquote>
</blockquote>
</blockquote>
<p>Merkt Ihr was?</p>
<p>LLAP </p>
<div class="signature">-- <br>
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https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676709#m1676709Gunnar Bittersmannselfhtml@bittersmann.dehttp://bittersmann.de2016-10-10T11:50:18Z2016-10-10T11:50:18ZMathematik zum Wochenende<p>@@Rolf b</p>
<blockquote>
<p>Zu der Debatte $$ * $$ vs $$\cdot$$ vs $$\times $$: Ich würde dem Problem ausweichen und $$4x$$ schreiben :)</p>
</blockquote>
<p>In MathML aber bitte mit Operator:</p>
<pre><code class="block language-xml"><span class="token tag"><span class="token tag"><span class="token punctuation"><</span>mrow</span><span class="token punctuation">></span></span>
<span class="token tag"><span class="token tag"><span class="token punctuation"><</span>mn</span><span class="token punctuation">></span></span>4<span class="token tag"><span class="token tag"><span class="token punctuation"></</span>mn</span><span class="token punctuation">></span></span>
<span class="token tag"><span class="token tag"><span class="token punctuation"><</span>mo</span><span class="token punctuation">></span></span>⁢<span class="token tag"><span class="token tag"><span class="token punctuation"></</span>mo</span><span class="token punctuation">></span></span>
<span class="token tag"><span class="token tag"><span class="token punctuation"><</span>mi</span><span class="token punctuation">></span></span>x<span class="token tag"><span class="token tag"><span class="token punctuation"></</span>mi</span><span class="token punctuation">></span></span>
<span class="token tag"><span class="token tag"><span class="token punctuation"></</span>mrow</span><span class="token punctuation">></span></span>
</code></pre>
<p>LLAP </p>
<div class="signature">-- <br>
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https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676717#m1676717Rolf b2016-10-10T12:01:13Z2016-10-10T12:01:13ZMathematik zum Wochenende<p>Urgh! Verbosity Hell! Ich würde auch MathML ausweichen wollen :-)))</p>
<p>(Ob ich es im konkreten Einzelfall KANN ist natürlich eine andere Frage...).</p>
https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676721#m1676721Matthias Apselmatthias.apsel@selfhtml.orghttp://brückentage.info2016-10-10T12:15:44Z2016-10-10T12:15:44ZMathematik zum Wochenende<p>Hallo Gunnar Bittersmann,</p>
<blockquote>
<blockquote>
<blockquote>
<blockquote>
<blockquote>
<p>Für <em>a</em> = <em>b</em> fällt <em>P</em> mit <em>E</em> und <em>Q</em> mit <em>F</em> zusammen, d.h. <em>p</em> = <em>q</em> = 0. […]</p>
</blockquote>
</blockquote>
</blockquote>
</blockquote>
</blockquote>
<p>Damit ist der Fall <em>a</em> = <em>b</em> in meinen Augen abgehakt.</p>
<blockquote>
<blockquote>
<blockquote>
<blockquote>
<blockquote>
<p>$$\frac{EP}{QF} = \frac{OA}{OB}$$, also $$\frac{p}{q} = \frac{a}{b}$$</p>
</blockquote>
</blockquote>
</blockquote>
</blockquote>
</blockquote>
<p>Das gilt dann jetzt nur noch für <em>a</em> > <em>b</em></p>
<p>Bis demnächst<br>
Matthias</p>
<div class="signature">-- <br>
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https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676722#m1676722Der Martin2016-10-10T12:18:30Z2016-10-10T12:18:30ZMathematik zum Wochenende<p>Hallo,</p>
<blockquote>
<p>Kannten eure Mathelehrer <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Geteiltzeichen#Geschichte_der_Symbole" rel="nofollow noopener noreferrer">Leibnitz</a> nicht?</p>
</blockquote>
<p>war das nicht der mit den 52 Zähnen? ;-)<br>
Ach, und ohne 't', bitte.</p>
<blockquote>
<p>Der Divisionsdoppelpunkt ist durchaus üblich, zumindest habe ich ihn immer straflos verwendet. Kurzes Googlen findet z.B. <a href="http://www.grundschulstoff.de/arbeitsblaetter/mathematik/grundrechenarten/division/dividieren-bis-1000/8/download.html" rel="nofollow noopener noreferrer">dies</a>, anders kenne ich es eigentlich gar nicht.</p>
</blockquote>
<p>Interessanterweise haben wir das in der Grundschule auch erst so gelernt, aber später am Gymnasium war der Doppelpunkt plötzlich "pfui".</p>
<blockquote>
<p>Aber vielleicht ist es ja regional verschieden (insbesondere vor '89: BRD vs DDR)?</p>
</blockquote>
<p>Kann ich mir gut vorstellen. Vielleicht sind solche Präferenzen sogar von Schule zu Schule verschieden.</p>
<p>Ciao,<br>
Martin</p>
<div class="signature">-- <br>
Es gibt eine Theorie, die besagt, dass das Universum augenblicklich durch etwas noch Komplizierteres und Verrücktes ersetzt wird, sobald jemand herausfindet, wie es wirklich funktioniert. Es gibt eine weitere Theorie, derzufolge das bereits geschehen ist.<br>
- (frei übersetzt nach Douglas Adams)
</div>
https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676729#m1676729Rolf b2016-10-10T13:43:08Z2016-10-10T13:43:08ZMathematik zum Wochenende<blockquote>
<blockquote>
<blockquote>
<blockquote>
<blockquote>
<blockquote>
<p>Für <em>a</em> = <em>b</em> fällt <em>P</em> mit <em>E</em> und <em>Q</em> mit <em>F</em> zusammen, d.h. <em>p</em> = <em>q</em> = 0. […]
Damit ist der Fall <em>a</em> = <em>b</em> in meinen Augen abgehakt.</p>
</blockquote>
</blockquote>
</blockquote>
</blockquote>
</blockquote>
</blockquote>
<p>Schon, aber der Fehler, den Gunnar uns suchen ließ, war, dass dieses Abhaken implizit war. Ein korrekter Beweis hätte diesen Fall explizit aufgeführt und bemerkt, dass für $$a=b$$ die Aussage zu $$1+1=2$$ wird und damit trivial.</p>
<p>Nä nä, is dat lang her, dass ich richtig Mathe gemacht habe. Strahlensätze musste ich nachgucken und dann überseh ich die Division durch 0. Witzig ist nur, dass die gesamte Argumentation am Ende trotzdem stimmt, auch für $$p=q=0$$.</p>
<p>Rolf</p>
https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676752#m1676752MudGuardhttp://www.andreas-waechter.de/2016-10-10T15:44:05Z2016-10-10T15:44:05ZMathematik zum Wochenende<p>Hi,</p>
<blockquote>
<p>Kann ich mir gut vorstellen. Vielleicht sind solche Präferenzen sogar von Schule zu Schule verschieden.</p>
</blockquote>
<p>ich würd sogar noch weiter gehen: von Lehrer zu Lehrer.</p>
<p>cu,<br>
Andreas a/k/a MudGuard</p>
https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676732#m1676732Gunnar Bittersmannselfhtml@bittersmann.dehttp://bittersmann.de2016-10-10T13:53:56Z2016-10-10T13:53:56ZMathematik zum Wochenende<p>@@Rolf b</p>
<blockquote>
<blockquote>
<blockquote>
<blockquote>
<blockquote>
<blockquote>
<blockquote>
<p>Für <em>a</em> = <em>b</em> fällt <em>P</em> mit <em>E</em> und <em>Q</em> mit <em>F</em> zusammen, d.h. <em>p</em> = <em>q</em> = 0. […]
Damit ist der Fall <em>a</em> = <em>b</em> in meinen Augen abgehakt.</p>
</blockquote>
</blockquote>
</blockquote>
</blockquote>
</blockquote>
</blockquote>
<p>Schon, aber der Fehler, den Gunnar uns suchen ließ, war, dass dieses Abhaken implizit war.</p>
</blockquote>
<p>Der Fehler war, dass ich den Fall eben nicht abgehakt hatte, um mir die Fallunterscheidung zu sparen.</p>
<p>LLAP </p>
<div class="signature">-- <br>
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</div>
https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676755#m1676755Der Martin2016-10-10T15:56:20Z2016-10-10T15:56:20ZMathematik zum Wochenende<p>Hallo,</p>
<blockquote>
<blockquote>
<p>Kann ich mir gut vorstellen. Vielleicht sind solche Präferenzen sogar von Schule zu Schule verschieden.</p>
</blockquote>
<p>ich würd sogar noch weiter gehen: von Lehrer zu Lehrer.</p>
</blockquote>
<p>auch vorstellbar - aber Lehrer an derselben Schule tauschen sich meist untereinander aus und einigen sich (hoffentlich) auf eine gemeinsame Linie.</p>
<p>Aber dass du recht hast, merkt man als Schüler oft zu Beginn eines neuen Schuljahrs, wenn der neue Lehrer in Mathe (alternativ Physik, Deutsch, Musik, ...) plötzlich alles anders macht als sein Vorgänger im Schuljahr davor.</p>
<p>Ciao,<br>
Martin</p>
<div class="signature">-- <br>
Es gibt eine Theorie, die besagt, dass das Universum augenblicklich durch etwas noch Komplizierteres und Verrücktes ersetzt wird, sobald jemand herausfindet, wie es wirklich funktioniert. Es gibt eine weitere Theorie, derzufolge das bereits geschehen ist.<br>
- (frei übersetzt nach Douglas Adams)
</div>
https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676756#m1676756Matthias Apselmatthias.apsel@selfhtml.orghttp://brückentage.info2016-10-10T16:04:48Z2016-10-10T16:04:48ZMathematik zum Wochenende<p>Hallo MudGuard,</p>
<blockquote>
<p>ich würd sogar noch weiter gehen: von Lehrer zu Lehrer.</p>
</blockquote>
<p>Das ist in einigen Fällen sicher so. Zum Beispiel horizontales vs. vertikales Baumdiagramm.</p>
<p>Bei der Multiplikation reeller Zahlen lege ich jedoch meine Hand dafür ins Feuer, dass kein^W nur ein äußerst geringer Promillesatz in Deutschland ausgebildeter Mathematiklehrer an einer Schule in Deutschland den Stern<sup class="footnote-ref"><a href="#fn1" id="fnref1">[1]</a></sup> oder das Kreuz als Rechenzeichen verwendet.</p>
<p>Und meine andere Hand halte ich in die Nähe des Feuers, was das Zeichen „÷“ betrifft. Da mag es vielleicht an berufsbildenden Schulen ganz anders aussehen.</p>
<p>Bis demnächst<br>
Matthias</p>
<div class="signature">-- <br>
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<hr class="footnotes-sep">
<section class="footnotes">
<ol class="footnotes-list">
<li id="fn1" class="footnote-item"><p>Wir lassen mal außen vor, dass es leider immer noch Lehrer, auch Mathematiklehrer, gibt, die mit dem Textverabreitungsprogramm ihrer Wahl nicht in ausreichendem Maße umgehen können. <a href="#fnref1" class="footnote-backref">↩︎</a></p>
</li>
</ol>
</section>
https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676760#m1676760Gunnar Bittersmannselfhtml@bittersmann.dehttp://bittersmann.de2016-10-10T17:13:57Z2016-10-10T17:14:32ZMathematik zum Wochenende<p>@@Der Martin</p>
<blockquote>
<p>Aber dass du recht hast, merkt man als Schüler oft zu Beginn eines neuen Schuljahrs, wenn der neue Lehrer in Mathe (alternativ Physik, Deutsch, Musik, ...) plötzlich alles anders macht als sein Vorgänger im Schuljahr davor.</p>
</blockquote>
<p>Na, ganz anders kann es ja nicht sein. Es gibt ja schließlich Gesetze, an die sich die Lehrer halten müssen – die Naturgesetze. Zumindest die Mathelehrer, Physiklehrer und Musiklehrer. Die <a href="https://youtube.com/watch?v=1169CiaDHG0" rel="nofollow noopener noreferrer">Deutschlehrer</a> sind ein eigenes Kapitel.</p>
<p>LLAP </p>
<div class="signature">-- <br>
<em>“I love to go to JS conferences to speak about how to avoid using JavaScript. Please learn CSS & HTML to reduce your JS code bloat.”</em> —Estelle Weyl
</div>
https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676759#m1676759Der Martin2016-10-10T16:53:52Z2016-10-10T16:53:52ZMathematik zum Wochenende<p>Hi,</p>
<blockquote>
<blockquote>
<p>ich würd sogar noch weiter gehen: von Lehrer zu Lehrer.</p>
</blockquote>
<p>Das ist in einigen Fällen sicher so. Zum Beispiel horizontales vs. vertikales Baumdiagramm.</p>
<p>Bei der Multiplikation reeller Zahlen lege ich jedoch meine Hand dafür ins Feuer, dass kein^W nur ein äußerst geringer Promillesatz in Deutschland ausgebildeter Mathematiklehrer an einer Schule in Deutschland den Stern[^1] oder das Kreuz als Rechenzeichen verwendet.</p>
</blockquote>
<p>bei Mathelehrern würde ich das auch nicht erwarten. Außerhalb der Schule, im wirklichen Leben, sieht das allerdings anders aus.</p>
<blockquote>
<p>Und meine andere Hand halte ich in die Nähe des Feuers, was das Zeichen „÷“ betrifft. Da mag es vielleicht an berufsbildenden Schulen ganz anders aussehen.</p>
</blockquote>
<p>Das ist mir auch in meiner Schulzeit nie begegnet (außer auf der Divisionstaste am Taschenrechner).</p>
<p>Ciao,<br>
Martin</p>
<div class="signature">-- <br>
Es gibt eine Theorie, die besagt, dass das Universum augenblicklich durch etwas noch Komplizierteres und Verrücktes ersetzt wird, sobald jemand herausfindet, wie es wirklich funktioniert. Es gibt eine weitere Theorie, derzufolge das bereits geschehen ist.<br>
- (frei übersetzt nach Douglas Adams)
</div>
https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676761#m1676761Der Martin2016-10-10T17:33:41Z2016-10-10T17:33:41ZMathematik zum Wochenende<p>Hallo,</p>
<blockquote>
<blockquote>
<p>Aber dass du recht hast, merkt man als Schüler oft zu Beginn eines neuen Schuljahrs, wenn der neue Lehrer in Mathe (alternativ Physik, Deutsch, Musik, ...) plötzlich alles anders macht als sein Vorgänger im Schuljahr davor.</p>
</blockquote>
<p>Na, ganz anders kann es ja nicht sein. Es gibt ja schließlich Gesetze, an die sich die Lehrer halten müssen – die Naturgesetze. Zumindest die Mathelehrer, Physiklehrer und Musiklehrer.</p>
</blockquote>
<p>natürlich, aber bei den Formalismen und bevorzugten Lösungsansätzen unterscheiden sie sich doch erheblich. Und ... äh, Musiklehrer? Ja, Musik folgt im Prinzip auch naturwissenschaftlichen Gesetzen, aber mein Musikunterricht bestand, soweit ich mich erinnern kann, sogar in der Mittelstufe noch zu geschätzten 90% aus gemeinsamem Singen<sup class="footnote-ref"><a href="#fn1" id="fnref1">[1]</a></sup> (und gelegentlichem Solo-Vorsingen). In Klasse 5 gab es ein bisschen Theorie - Notenschreibweise, Harmonielehre<sup class="footnote-ref"><a href="#fn2" id="fnref2">[2]</a></sup> und sowas - und in Klasse 8 hat unsere Musiklehrerin uns mit Jazz gequält - eine Musikrichtung, die ich schon immer abscheulich fand. Aber die Theorie der Musik, die die Verbindung zur Naturwissenschaft herstellen würde, blieb fast völlig auf der Strecke.</p>
<blockquote>
<p>Die <a href="https://youtube.com/watch?v=1169CiaDHG0" rel="nofollow noopener noreferrer">Deutschlehrer</a> sind ein eigenes Kapitel.</p>
</blockquote>
<p>Wem sagst du das. In Klasse 5 und 6, wo Klassenarbeiten in Deutsch noch überwiegend Diktate und hin und wieder ein Lückentext waren (der das Grammatik-Verständnis zeigen sollte), war meine Deutschnote im Mittel so zwischen 1 und 2. Auch in Klasse 7 und 8, wo mehr und mehr Aufsätze dazukamen, konnte ich das Niveau noch halten. In der 9 hatten wir dann wieder einen anderen Deutschlehrer, und mein Schnitt sackte urplötzlich auf eine 4 ab.</p>
<p>So long,<br>
Martin</p>
<div class="signature">-- <br>
Es gibt eine Theorie, die besagt, dass das Universum augenblicklich durch etwas noch Komplizierteres und Verrücktes ersetzt wird, sobald jemand herausfindet, wie es wirklich funktioniert. Es gibt eine weitere Theorie, derzufolge das bereits geschehen ist.<br>
- (frei übersetzt nach Douglas Adams)
</div>
<hr class="footnotes-sep">
<section class="footnotes">
<ol class="footnotes-list">
<li id="fn1" class="footnote-item"><p>Musiklehrer (resignierend): Die Summe der Einzelleistungen ist überwältigend. Wenn wir es jetzt noch schaffen, <strong>miteinander</strong> zu singen und nicht gegeneinander, könnte es was werden. <a href="#fnref1" class="footnote-backref">↩︎</a></p>
</li>
<li id="fn2" class="footnote-item"><p>Das konnte meine damalige Musiklehrerin leider nie so erklären, dass ich es auch verstanden habe. Da wäre wieder die Querverbindung zur Naturwissenschaft (Akustik) hilfreich gewesen, aber das hatte sie nicht drauf. <a href="#fnref2" class="footnote-backref">↩︎</a></p>
</li>
</ol>
</section>
https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676762#m1676762Christian Krusehttps://wwwtech.de/about2016-10-10T17:54:12Z2016-10-10T17:54:12ZMathematik zum Wochenende<p>Hallo Gunnar,</p>
<blockquote>
<p>Die <a href="https://youtube.com/watch?v=1169CiaDHG0" rel="nofollow noopener noreferrer">Deutschlehrer</a> sind ein eigenes Kapitel.</p>
</blockquote>
<p>+1 für den Sebastian-Krämer-Link! </p>
<p>LG,<br>
CK</p>
<div class="signature">-- <br>
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</div>
https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676764#m1676764Gunnar Bittersmannselfhtml@bittersmann.dehttp://bittersmann.de2016-10-10T18:21:07Z2016-10-10T18:21:07ZMathematik zum Wochenende<p>@@Der Martin</p>
<blockquote>
<p>Und ... äh, Musiklehrer?</p>
</blockquote>
<p><a href="https://twitter.com/g16n/status/775697546949849088" rel="nofollow noopener noreferrer">Quinten</a> und so …</p>
<blockquote>
<p>Da wäre wieder die Querverbindung zur Naturwissenschaft (Akustik) hilfreich gewesen, aber das hatte sie nicht drauf.</p>
</blockquote>
<p>Hab <a href="https://twitter.com/g16n/status/775697546949849088" rel="nofollow noopener noreferrer">ich</a>’s drauf? Hat <a href="https://www.youtube.com/watch?v=Z9bqIYbDuns#t=13m47s" rel="nofollow noopener noreferrer">Esperanza Spalding</a> es drauf? (ab 13:47)</p>
<p>LLAP </p>
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https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1678207#m1678207Gunnar Bittersmannselfhtml@bittersmann.dehttp://bittersmann.de2016-10-26T10:09:27Z2016-10-26T10:09:27ZMathematik zum Wochenende<p>@@Der Martin</p>
<blockquote>
<p>und in Klasse 8 hat unsere Musiklehrerin uns mit Jazz gequält - eine Musikrichtung, die ich schon immer abscheulich fand.</p>
</blockquote>
<p>Fand ich früher auch mal. Heute sitze ich gern in meinem Frühstückscafé (wie jetzt gerade), eben weil da Jazz-Mugge läuft.</p>
<p>LLAP </p>
<div class="signature">-- <br>
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https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676777#m1676777Rolf b2016-10-10T20:28:41Z2016-10-10T20:28:41ZMathematik zum Wochenende<p>Noch einen. Hab mich weggeschmissen :)</p>
https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676768#m1676768Der Martin2016-10-10T18:50:12Z2016-10-10T18:50:12ZMathematik zum Wochenende<p>Hallo,</p>
<blockquote>
<blockquote>
<p>In vielen (in den meisten?) Programmiersprachen ist der Stern das Symbol für Multiplikation, er wird aber immer häufiger auch außerhalb von Programmcode in der Bedeutung verwendet.</p>
</blockquote>
<p>Letzteres würde ich verneinen. Es sei denn, von Programmierern.</p>
</blockquote>
<p>hauptsächlich von denen. Aber auch von anderen, die es nachmachen, weil sie "cool" sein wollen.</p>
<blockquote>
<p>Andere missbrauchen eher ein anderes Zeichen als Malzeichen und wollen einem ein x für ein × vormachen.</p>
</blockquote>
<p>Stimmt, auch das sieht man häufig.</p>
<blockquote>
<blockquote>
<p>Das bevorzugte Divisionszeichen sei der Bruchstrich;</p>
</blockquote>
<p>Zur Erinnerung: Division wird lange vor Bruchrechnung gelehrt.</p>
</blockquote>
<p>Was ist der Unterschied? Nein, es ist nicht dasselbe, aber die Division ist die elementare Operation, die der Bruchrechnung zugrundeliegt. Ich halte es daher nicht für sinnvoll, hier zu unterscheiden.</p>
<blockquote>
<blockquote>
<p><em>notfalls</em> ein Schrägstrich (wenn's mit Text in einer Zeile stehen soll).</p>
</blockquote>
<p>Eine Quinte ist ein Frequenzverhältnis von 3/2? Oder doch 3 : 2?</p>
</blockquote>
<p>Ist für mich dasselbe.<br>
Btw, nicht 3/2, sondern eigentlich $$ (\sqrt[12]{2})^7 $$, also ungefähr 1.49.</p>
<p>So long,<br>
Martin</p>
<div class="signature">-- <br>
Es gibt eine Theorie, die besagt, dass das Universum augenblicklich durch etwas noch Komplizierteres und Verrücktes ersetzt wird, sobald jemand herausfindet, wie es wirklich funktioniert. Es gibt eine weitere Theorie, derzufolge das bereits geschehen ist.<br>
- (frei übersetzt nach Douglas Adams)
</div>
https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676774#m1676774Gunnar Bittersmannselfhtml@bittersmann.dehttp://bittersmann.de2016-10-10T19:25:16Z2016-10-10T19:25:16ZMathematik zum Wochenende<p>@@Der Martin</p>
<blockquote>
<p>Was ist der Unterschied [zwischen Division und Bruchrechnung]?. Ich halte es … nicht für sinnvoll, hier zu unterscheiden.</p>
</blockquote>
<p>Ich auch nicht. Ich halte es auch nicht für sinnvoll, zwischen ':' und '/' (eigentlich '∕' U+2215) zu unterscheiden und das eine gut, das andere böse zu nennen.</p>
<blockquote>
<p>[Quinte] nicht 3/2, sondern eigentlich $$ (\sqrt[12]{2})^7 $$, also ungefähr 1.49.</p>
</blockquote>
<p>Eine <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Reine_Stimmung" rel="nofollow noopener noreferrer">reine</a> · <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Quinte" rel="nofollow noopener noreferrer">Quinte</a> ist genau 3 : 2.</p>
<p>In der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Gleichstufige_Stimmung" rel="nofollow noopener noreferrer">gleichstufigen Stimmung</a> wird die Quinte durch $$2^{\frac{7}{12}}$$ angenähert.</p>
<p>LLAP </p>
<div class="signature">-- <br>
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https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676778#m1676778Christian Krusehttps://wwwtech.de/about2016-10-10T20:45:46Z2016-10-10T20:45:46ZMathematik zum Wochenende<p>Hallo Rolf,</p>
<blockquote>
<p>Noch einen. Hab mich weggeschmissen :)</p>
</blockquote>
<p>Guck dir den Rest von ihm an, der Typ ist klasse!</p>
<p>LG,<br>
CK</p>
<div class="signature">-- <br>
<a href="https://wwwtech.de/about" rel="noopener noreferrer">https://wwwtech.de/about</a>
</div>
https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676779#m1676779Gunnar Bittersmannselfhtml@bittersmann.dehttp://bittersmann.de2016-10-10T20:49:44Z2016-10-10T20:49:44ZMathematik zum Wochenende<p>@@Rolf b</p>
<blockquote>
<p>Noch einen. Hab mich weggeschmissen :)</p>
</blockquote>
<p>Dann will ich dich mal <a href="https://forum.selfhtml.org/self/2016/apr/22/stern-grins-zum-wochenende-stern-g4we/1665833#m1665833" rel="noopener noreferrer">nicht enttäuschen</a>.</p>
<p>Ich könnte noch <a href="https://forum.selfhtml.org/self/2016/apr/22/stern-grins-zum-wochenende-stern-g4we/1666198#m1666198" rel="noopener noreferrer">mehr</a>, aber du wolltest ja nur einen.</p>
<p>LLAP </p>
<div class="signature">-- <br>
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</div>
https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/8/mathematik-zum-wochenende/1676780#m1676780Gunnar Bittersmannselfhtml@bittersmann.dehttp://bittersmann.de2016-10-10T20:56:12Z2016-10-10T20:56:12ZMathematik zum Wochenende<p>@@Christian Kruse</p>
<blockquote>
<p>Guck dir den Rest von ihm an, der Typ ist klasse!</p>
</blockquote>
<p>Ja. Ich hab den Typen lange nicht gesehen. (Mit „gesehen“ meine ich gesehen, nicht auf YouTube.)</p>
<p>Früher war das anders. Da hatten wir einmal im Monat denselben Nachhauseweg.</p>
<p>LLAP </p>
<div class="signature">-- <br>
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</div>