Geometrie zum Jahresende - Lösung Hallo Matthias Apsel, > {:width="285"} > > Die Seiten eines gleichseitigen Dreiecks werden im selben Verhältnis geteilt. > > 1. Beweise, dass in der Mitte ein gleichseitiges Dreieck entsteht. Richtige Lösungen gab es von @encoder (2 Varianten), @Gunnar Bittersmann und @ottogal. Variante 1. Die Drehung der Figur um 120° um den Mittelpunkt von △*ABC* bildet *A* auf *B* ab, *B* auf *C* und *C* auf *A* sowie *D* auf *E*, *E* auf *F* und *F* auf *D*, also *AE* auf *BF*, *BF* auf *CD* und *CD* auf *AE*, damit aber auch deren Schnittpunkte *G* auf *H*, *H* auf *I* und *I* auf *G*. Folglich ist △*GHI* gleichseitig. (Formulierung: Gunnar) Variante 2. Aufgrund der Symmetrie reicht es, das Dreieck _ABH_ zu betrachten. Es gilt: ∠*HAB* + ∠*ABH* = 60° ∠*GHI* ist Außenwinkel des Dreiecks _ABH_. Ein Außenwinkel eines Dreiecks ist so groß, wie die Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel. > {: start="2"} > 2. In welchem Verhältnis müssen die Seiten geteilt werden, damit sich die Flächeninhalte der beiden gleichseitigen Dreiecke wie 1 zu 7 verhalten? Gunnar und ich haben den Cosinussatz bemüht. Nun denn: o.B.d.A. *AB* =  1. *q*  =  *AD*  =  *BE* (Verhältnis der kurzen Strecke zur Seitenlänge des äußeren Dreiecks); *p*  =  *AG*; *r*  =  *GH* (Seitenlänge des inneren Dreiecks); *s*  =  *DG*  =  *EH*; *t*  =  *AE*  =  *p*  +  *r*  +  *s* {:width="285"} Die Dreiecke *AGD* und *ABE* stimmen in ihren Innenwinkeln überein, sind also ähnlich; es gilt *s*  :  *q*  =  *q*  :  *t*  =  *p*  :  1. Cosinussatz in △*ABE*: *t*²  =  1  +  *q*²  −  2*q*  cos  60° =  1  −  *q*  +  *q*² *r*  =  *GH*  :  *AB* ist das Verhältnis der Seitenlängen der Dreiecke; damit ist *r*² das Verhältnis von deren Flächeninhalten. $$\begin{align} r &= t - p - s = t - \frac{q}{t} - \frac{q^2}{t} \\ &= \frac{t^2 - q - q^2}{t} = \frac{1 - 2q}{t} \\ r^2 &= \frac{\left( 1 - 2q \right)^2}{t^2} = \frac{\left( 1 - 2q \right)^2}{1 − q + q^2} \end{align}$$ Für *q*  =  ⅓ ergibt sich wie vermutet *r*²  =  ⅟₇. Teilungsverhältnis also 1  :  2, die Oktave. > In welchem Verhältnis müssen die Seiten geteilt werden, damit sich die Flächeninhalte der beiden gleichseitigen Dreiecke wie 1 zu 19 verhalten? > Wenn ich schon so frage, wirds wohl was mit kleinen ganzen Zahlen sein. Für *q*  =  ⅖ ist *r*²  =  ⅟₁₉. Teilungsverhältnis 2  :  3, die Quinte. > In welchem Verhältnis müssen die Seiten geteilt werden, damit sich die Flächeninhalte der beiden gleichseitigen Dreiecke wie 1 zu 37 verhalten? > Wenn ich schon so frage, wirds wohl was mit kleinen ganzen Zahlen sein. Für *q*  =  ³⁄₇ ist *r*²  =  ⅟₃₇. Teilungsverhältnis 3  :  4, die Quarte. (Formulierung: Gunnar) > wie vermutet Sowohl Gunnar als auch Ottogal haben das richtige Verhältnis vermutet, Ottogal hat einen geschickten Zerlegungsbeweis vorgelegt: Die Seiten des großen Dreiecks müssen jeweils im Verhältnis 1:2 geteilt werden. Man kann dann die ganze Figur in 21 flächengleiche Dreiecke zerlegen, von denen 3 auf das innere Dreieck entfallen. Es hat also 1/7 der Gesamtfläche: {:width="285"} Bis demnächst Matthias -- Pantoffeltierchen haben keine Hobbys.