Geometrie zum Jahresende - Lösung
bearbeitet von
Hallo Matthias Apsel,
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> Die Seiten eines gleichseitigen Dreiecks werden im selben Verhältnis geteilt.
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> 1. Beweise, dass in der Mitte ein gleichseitiges Dreieck entsteht.
Richtige Lösungen gab es von @encoder (2 Varianten), @Gunnar Bittersmann und @ottogal.
Variante 1.
Die Drehung der Figur um 120° um den Mittelpunkt von △*ABC* bildet *A* auf *B* ab, *B* auf *C* und *C* auf *A* sowie *D* auf *E*, *E* auf *F* und *F* auf *D*, also *AE* auf *BF*, *BF* auf *CD* und *CD* auf *AE*, damit aber auch deren Schnittpunkte *G* auf *H*, *H* auf *I* und *I* auf *G*. Folglich ist △*GHI* gleichseitig. (Formulierung: Gunnar)
Variante 2.
Aufgrund der Symmetrie reicht es, das Dreieck _ABH_ zu betrachten.
Es gilt: ∠*HAB* + ∠*ABH* = 60°
∠*GHI* ist Außenwinkel des Dreiecks _ABH_. Ein Außenwinkel eines Dreiecks ist so groß, wie die Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel.
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> 2. In welchem Verhältnis müssen die Seiten geteilt werden, damit sich die Flächeninhalte der beiden gleichseitigen Dreiecke wie 1 zu 7 verhalten?
Gunnar und ich haben den Cosinussatz bemüht.
Nun denn: o.B.d.A. *AB* = 1.
*q* = *AD* = *BE* (Verhältnis der kurzen Strecke zur Seitenlänge des äußeren Dreiecks); *p* = *AG*; *r* = *GH* (Seitenlänge des inneren Dreiecks); *s* = *DG* = *EH*; *t* = *AE* = *p* + *r* + *s*
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Die Dreiecke *AGD* und *ABE* stimmen in ihren Innenwinkeln überein, sind also ähnlich; es gilt *s* : *q* = *q* : *t* = *p* : 1.
Cosinussatz in △*ABE*: *t*² = 1 + *q*² − 2*q* cos 60° = 1 − *q* + *q*²
*r* = *GH* : *AB* ist das Verhältnis der Seitenlängen der Dreiecke; damit ist *r*² das Verhältnis von deren Flächeninhalten.
$$\begin{align}
r &= t - p - s = t - \frac{q}{t} - \frac{q^2}{t} \\
&= \frac{t^2 - q - q^2}{t} = \frac{1 - 2q}{t} \\
r^2 &= \frac{\left( 1 - 2q \right)^2}{t^2} = \frac{\left( 1 - 2q \right)^2}{1 − q + q^2}
\end{align}$$
Für *q* = ⅓ ergibt sich wie vermutet *r*² = ⅟₇. Teilungsverhältnis also 1 : 2, die Oktave.
> In welchem Verhältnis müssen die Seiten geteilt werden, damit sich die Flächeninhalte der beiden gleichseitigen Dreiecke wie 1 zu 19 verhalten?
> Wenn ich schon so frage, wirds wohl was mit kleinen ganzen Zahlen sein.
Für *q* = ⅖ ist *r*² = ⅟₁₉. Teilungsverhältnis 2 : 3, die Quinte.
> In welchem Verhältnis müssen die Seiten geteilt werden, damit sich die Flächeninhalte der beiden gleichseitigen Dreiecke wie 1 zu 37 verhalten?
> Wenn ich schon so frage, wirds wohl was mit kleinen ganzen Zahlen sein.
Für *q* = ³⁄₇ ist *r*² = ⅟₃₇. Teilungsverhältnis 3 : 4, die Quarte.
(Formulierung: Gunnar)
> wie vermutet
Sowohl Gunnar als auch Ottogal haben das richtige Verhältnis vermutet, Ottogal hat einen geschickten Zerlegungsbeweis vorgelegt:
Die Seiten des großen Dreiecks müssen jeweils im Verhältnis 1:2 geteilt werden.
Man kann dann die ganze Figur in 21 flächengleiche Dreiecke zerlegen, von denen 3 auf das innere Dreieck entfallen. Es hat also 1/7 der Gesamtfläche:
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Bis demnächst
Matthias
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Pantoffeltierchen haben keine Hobbys.