Moin, moin!
Wo liegt denn der Denkfehler in meinem mittlerweile eingerosteten Gehirn? Hier meine Gedankengänge:
Da ein Verhältnis gesucht wird, kann man Einheiten ignorieren und mit der Würfel-Kantenlänge a = 1 rechnen. Das Volumen des Würfels V(Würfel) = a^3 ist dann ebenfalls 1.
Ich betrachte das Dreieck EDB. Seine Seiten sind Flächendiagonalen des Würfels und haben die Länge d = a * 2^(1/2) = 2^(1/2). Das Dreieck ist gleichseitig, der Umkreisradius ist also r = d / 3 * 3^(1/2) = 2^(1/2) / 3 * 3^(1/2). Das ist der Radius des Zylinders.
Die Höhe des Zylinders ist gleich der Kantenlänge des Würfels a = 1, in der Zeichnung z. B. die Strecke zwischen den Punkten E und H. Daraus ergibt sich das Volumen des Zylinders V(Zylinder) = Pi * r^2 * 1 = Pi * 2/3.
Das Verhältis von V(Würfel) = 1 zu V(Zylinder) ist demnach auch Pi * 2/3.
Ich bitte um sachdienliche Hinweise.
Viele Grüße, Norbert