nicht angemeldet
Richtige Lösungen kamen von @Rolf B und @Gunnar Bittersmann.
Der Radius der Zylinder-Grundfläche ist der Umkreisradius des gleichseitigen Dreiecks mit der Flächendiagonalen des Würfels als Seitenlänge. Da der Umkreismittelpunkt auch der Schwerpunkt ist, beträgt der Radius $$ \frac{2}{3} $$ der Dreieckshöhe. Nimmt man (o.B.d.A) die Kantenlänge des Würfels als 1, ergibt sich der Radius $$ r = \frac{1}{3} \sqrt 6 $$.
Die Mittelpunkte von Grundkreis und Deckkreis des Zylinders teilen die Raumdiagonale in drei gleichlange Teile. Dies kann auf verschiedenen Wegen eingesehen werden, z.B. durch Betrachtung des Rechtecks $$ ACGE $$ - Stichworte Strahlensätze oder Ähnlichkeit von Dreiecken oder Pythagoras oder Kathetensatz:
(Da dieses Rechteck das Seitenverhältnis $$ 1 : \sqrt 2 $$ hat, sieht man nebenbei, wie sich die Diagonale eines DIN-A4-Blatts durch Falten in drei gleiche Teile teilen lässt...)
Jedenfalls ergibt sich die Zylinderhöhe $$ h = \frac{1}{3} \sqrt 3 $$ und damit das Zylindervolumen $$ \pi r^2 h = \pi \cdot \frac{2}{9} \sqrt 3 $$, das ist fast gleich 1,2092 - also 120,92% des Würfelvolumens 1.
Rolf B
Tabellenkalk
Gunnar Bittersmann