Mathematik zum Dienstagnachmittag
bearbeitet von> In ein Quadrat sind ein Halbkreis und ein Viertelkreis einbeschrieben, so dass sich folgende Fisch-Figur ergibt:
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> [](/images/1e82fa15-3e0a-458d-98fa-63ddb7f16017.png)
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> Man berechne den Anteil der blauen Fisch-Fläche an der Quadratfläche.
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Guten Morgen Mathefans,
die Aufgabe ist jetzt fast eine Woche alt - ich verrate mal meine Lösung:
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(1)
O.b.d.A habe das Quadrat $$ABCD$$ die Seitenlänge $$1$$.
Der Viertelkreis hat den Mittelpunkt $$B$$ und den Radius $$1$$.
Der Mittelpunkt des Halbkreises ist der Mittelpunkt $$F$$ der Seite $$CD$$, sein Radius ist $$\frac{1}{2}$$.
Der Schnittpunkt der beiden Kreisbögen ist $$S$$.
Wir nehmen für Winkelwerte stets das Bogenmaß; der Vollwinkel hat also den Wert $$2\pi$$.
[](/images/a5d4b243-269b-4eb9-b631-74e070cdc990.png)
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(2)
$$BCFS$$ ist ein Drachenviereck mit der Symmetrieachse $$BF$$ (denn $$BS$$ und $$BC$$ bzw. $$FS$$ und $$FC$$ sind als Kreisradien jeweils gleich lang).
Das Drachenviereck hat den Flächeninhalt $$\frac{1}{2}$$, denn es ist flächengleich zum Rechteck $$EBCF$$ (da die rechtwinkligen Dreiecke $$BFS$$ und $$FBE$$ nach dem SWS-Satz kongruent sind).
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(3)
Wir müssen natürlich Sektorflächen berechnen. Dies wird durch die Verwendung des Bogenmaßes für Winkel besonders einfach.
Ein Sektor habe den Radius $$r$$ und den ***halben*** Öffnungswinkel $$\phi$$.
Seine Fläche verhält sich zur Fläche des Vollkreises wie sein Öffnungswinkel zum Vollwinkel:
$$\frac{A_{Sektor}}{\pi r^2} = \frac{2 \phi}{2 \pi} = \frac{\phi}{\pi}$$
So erhält man die einfache Formel
|$$A_{Sektor} = \phi \cdot r^2$$
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(4)
Der Winkel $$\alpha = \angle CBF$$ kommt noch an anderen Stellen vor:
auch die Winkel $$\angle FBS$$, $$\angle FCS$$ und $$\angle FSC$$ haben den Wert $$\alpha$$, und es folgt $$\angle DFS = 2\alpha$$.
Wegen $$\tan \alpha = \frac{FC}{BC} = \frac{1}{2}$$ ist
|$$\alpha = \arctan$$ $$\frac{1}{2} = 0,46365$$
(Dies ist die einzige Stelle, an der wir die Trigonometrie bemühen müssen!)
Wir werden eine Formel für den gesuchten Flächeninhalt des Fisches herleiten; dabei verwenden wir durchgängig die Konstante $$\alpha\$$. Erst am Schluss setzen wir den obigen numerischen Wert ein, um einen Zahlenwert für den gesuchten Flächenanteil zu erhalten.
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(5)
Zunächst berechnen wir den Flächeninhalt des Schwanzstücks $$DAS$$ des Fisches links von $$S$$.
Wir erhalten $$A_{Schwanz}$$, indem wir von der Quadratfläche $$1$$ das Drachenviereck $$A_{BCFS} = \frac{1}{2}$$ sowie die beiden Sektorflächen $$A_1 = A_{BSA}$$ und $$A_2 = A_{FDS}$$ subtrahieren.
Der Sektor $$BSA$$ hat den Radius $$1$$ und den halben Öffnungswinkel
$$(\frac{\pi}{2}$$$$-2\alpha):2=\frac{1}{4}\pi-\alpha$$, somit nach (2) die Fläche
$$A_1 = (\frac{1}{4}$$$$\pi-\alpha) \cdot 1^2 = \frac{1}{4}\pi-\alpha$$
Der Sektor $$FDS$$ hat den Radius $$\frac{1}{2}$$ und den halben Öffnungswinkel $$\alpha$$ und daher die Fläche
$$A_2 = \alpha \cdot $$$$(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}\alpha$$
Der Fischschwanz hat folglich die Fläche
$$A_{Schwanz} = 1-\frac{1}{2}$$$$-A_1-A_2 = \frac{1}{2}-(\frac{1}{4}\pi-\alpha)-\frac{1}{4}\alpha$$
also
|$$A_{Schwanz} = \frac{1}{2}$$$$-\frac{1}{4}\pi+\frac{3}{4}\alpha$$
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_Zwischen-Bemerkung:_
_Um nun den Körper des Fisches zu bekommen, könnte man die Flächen der beiden Segmente $$SCH$$ und $$CSK$$ berechnen (als Differenz jeweils einer Sektor- und einer Dreiecksfläche) und addieren. So ging mein erster Lösungsweg._
_Dann jedoch hat mir Rolf am Mittwochmorgen ein Licht aufgesetzt - als er vom **Herausrechnen von gewissen Überlappungen** sprach._
_Das brachte mich schließlich zu den folgenden Überlegungen._
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(6)
Addiert man die Flächen des Halbkreises und des Viertelkreises, so erhält man die Quadratfläche abzüglich des Fischschwanzes, aber zuzüglich des Fischkörpers, der - wegen der Überlappung - zweimal in die Summe eingeht (doppelt schraffiert):
[](/images/4ab8ccb2-8605-4280-a315-60e7a290b87d.png)
Nun meine Idee:
Wir addieren noch _zweimal_ den Fischschwanz - einmal, um die Lücke zu füllen, und das zweite mal, um ihn (wie den Körper) zweimal in die Summe eingehen zu lassen (doppelt schraffiert)!
[](/images/a8038241-4f0a-4de7-9011-f90b3b54da00.png)
Subtrahiert man nun von all dem einmal die Quadratfläche, bleibt genau die Fläche des Fisches übrig!
[](/images/191ed0a6-a6c5-4e1e-9e46-5910c85209a3.png)
Die Fischfläche berechnet sich demnach wie folgt:
$$A_{Fisch} = A_{Viertelkreis} + A_{Halbkreis} + 2 \cdot A_{Schwanz} - A_{Quadrat}$$
$$= \frac{1}{4}$$ $$\pi \cdot 1^2 + \frac{1}{2}\pi \cdot (\frac{1}{2})^2 + 2 \cdot (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\pi + \frac{3}{4}\alpha) - 1$$
$$= \frac{3}{8}$$ $$\pi + 1 - \frac{1}{2}\pi + \frac{3}{2}\alpha - 1$$
also
$$A_{Fisch} = \frac{3}{2}$$ $$\alpha - \frac{1}{8}\pi$$
Mit dem Wert von $$\alpha$$ aus (3) erhalten wir das
**Ergebnis:**
|$$A_{Fisch} = \frac{3}{2}$$ $$\arctan{\frac{1}{2}} - \frac{1}{8}\pi$$
Das ist etwa $$0,30277$$; der Fisch nimmt also etwa 30,28% der Quadratfläche ein.
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_Fazit: Wenn mans mal gefunden hat, ist es immer einfach..._
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Euch einen guten Start in die Woche!
ottogal