Mathematik zum Wochenende - Lösung und Zusatzaufgabe

[ottogal]

@ottogal hat mit einem direkten Beweis angefangen und ihn indirekt zu Ende geführt.

Der ging so (hier straffer formuliert als in der Mitteilung an @Matthias Apsel):

Seien $$a$$ und $$b$$ natürliche Zahlen mit $$\sqrt a$$ und $$\sqrt b$$ irrational.

Dann ist $$\left( \sqrt a + \sqrt b \right)² = a+2\sqrt{ab}+b$$.

Wenn $$\sqrt{ab}$$ irrational ist, dann ist auch $$\left( \sqrt a + \sqrt b \right)²$$ irrational, dann aber auch $$\sqrt a + \sqrt b$$;
denn andernfalls wäre $$\left( \sqrt a + \sqrt b \right)²$$ als Produkt rationaler Zahlen rational.

Wir zeigen im Folgenden: $$\sqrt{ab}$$ kann nicht rational sein.

Der Sonderfall $$a=b$$ ist trivial: Dann ist $$\sqrt a + \sqrt b = 2\sqrt a$$ irrational (nach Voraussetzung über $$\sqrt a$$).

Sei also $$a \ne b$$.

Sei $$g$$ der größte gemeinsame Teiler von $$a$$ und $$b$$,
also etwa $$a=gc$$ und $$b=gd$$ mit teilerfremden $$c$$, $$d$$.

Dann ist $$\sqrt{ab}=g\sqrt{cd}$$, und $$\sqrt{ab}$$ ist genau dann irrational, wenn $$\sqrt{cd}$$ es ist.

Wir zeigen nun:

Sind $$c$$ und $$d$$ teilerfremde natürliche Zahlen, so ist $$\sqrt{cd}$$ irrational.

Der Beweis erfolgt indirekt (nach dem Muster, wie man üblicher Weise die Irrationalität von $$\sqrt 2$$ zeigt).

Wir nehmen das Gegenteil an: Es gebe (O.B.d.A. teilerfremde) natürliche zahlen $$p$$, $$q$$ mit

$$\sqrt{cd}=\frac{p}{q}$$.

Es folgt $$cd=\frac{p²}{q²}$$, $$p²=cd \cdot q²$$.

$$p²$$ hat also den Teiler $$cd$$, daher muss auch $$p$$ den Teiler $$cd$$ haben, etwa $$p=cd \cdot r$$.

Man erhält $$cd \cdot q²= (cd)² \cdot r²$$, $$q²= cd \cdot r²$$. Also hat auch $$q²$$ den Teiler $$cd$$ und damit auch $$q$$.

Dass sowohl $$p$$ als auch $$q$$ den Teiler $$cd$$ haben steht aber im Widerspruch zu der Annahme, dass p und q teilerfremd sind.

Somit muss $$\sqrt{cd}$$ irrational sein.