nicht angemeldet
(Falls es noch jemanden interessiert...)
Wir legen ein affines Koordinatensystem so, dass $$A$$ dessen Ursprung $$O$$ wird und $$B$$ bzw. $$D$$ die Einheitspunkte auf der $$x$$- bzw. $$y$$-Achse.
Damit erhalten wir – in Spaltenschreibweise – folgende Ortsvektoren:
$$\vec{OA}=\pmatrix{0\0}$$, $$\vec{OB}=\pmatrix{1\0}$$, $$\vec{OC}=\pmatrix{1\1}$$, $$\vec{OD}=\pmatrix{0\1}$$.
Die Lage von $$E$$ auf der Diagonalen $$AC$$ geben wir durch einen Parameter $$a$$ an:
$$\vec{OE}=\pmatrix{a\a}$$
Damit wird
$$\vec{OH}=\pmatrix{a\0}$$, $$\vec{OK}=\pmatrix{0\a}$$, $$\vec{OG}=\pmatrix{1\a}$$
Die Lage von $$F$$ auf der Geraden $$g$$ erfordert einen weiteren Parameter $$c$$:
$$\vec{OF}=\pmatrix{c\a}$$
Wir ermitteln eine vektorielle Parameter-Gleichung für die Gerade $$BF$$:
$$\pmatrix{x\y}=\pmatrix{c\a}+\lambda \cdot \pmatrix{1-c\-a}$$
Den zum Punkt $$S$$ gehörenden $$\lambda$$-Wert finden wir aus der Bedingung, dass $$S$$ den $$x$$-Wert $$a$$ haben muss durch Einsetzen:
$$a=c+\lambda \cdot (1-c)$$, somit $$\lambda=\frac{a-c}{1-c}$$.
Damit erhalten wir den $$y$$-Wert von $$S$$ zu
$$y=a+\lambda \cdot (-a)=a \cdot (1-\lambda)=a \cdot \left(1-\frac{a-c}{1-c}\right)=a \cdot \left(\frac{1-a}{1-c}\right)$$,
also $$y=\frac{a(1-a)}{1-c}$$ .
Nun haben wir die Vektoren
$$\vec{OS}=\pmatrix{a\ \frac{a(1-a)}{1-c}}$$ und $$\vec{FC}=\pmatrix{1-c\1-a}$$.
Man sieht: Multiplziert man $$\vec{OS}$$ mit dem Faktor $$k=\frac{1-c}{a}$$, so erhält man
$$k \cdot \vec{OS}=\frac{1-c}{a} \cdot \pmatrix{a\ \frac{a(1-a)}{1-c}}=\pmatrix{1-c\1-a}=\vec{FC}$$.
Die beiden Vektoren haben also die gleiche Richtung.
Gunnar Bittersmann