Mathematik zum Sonntagnachmittag

[Matthias Apsel]

Hallo alle,

gebildet wird eine Zahl z, indem fortlaufend alle natürlichen Zahlen aneinandergereiht werden.

Bestimme die billionste Ziffer der Zahl z.

Bis demnächst
Matthias

[Rolf B]

Hallo Matthias,

leider kann man Privatpost nicht mehr editieren und darum bekomme ich das Markdown dort nicht mehr heraus. Es neu zu schreiben ist mir zu viel Arbeit. Ich nehme an, Matthias kann das per "Antworten" einfacher extrahieren.

Daher hier nur eine Ziffer: 1. Es ist die zweite Stelle von 91.919.191.919

Immerhin bin ich diesmal nicht brute force vorgegangen, sondern mit etwas feinerer Klinge. So richtig fein fand ich sie nicht, ich bin sehr gespannt ob jemand eine schönere Antwort hat als eine Tabelle mit 11 Zeilen 12 Zeilen (ohne Überschrift).

Ich hab mir beim Lösen zuerst den Fehler gegönnt, amerikanisch zu denken, d.h. nur die Milliardste Stelle zu bestimmen. Die ist aber auch 1, insofern wäre das egal gewesen 😆. Aber dass man 999.999.999 Ziffern bekommt, wenn man die Zahlen von 1 bis 123456789 verkettet, das hat mich schon verblüfft. Dass auch die Billionste Ziffer in einer Zahl mit regelmäßigem Zifferschema steckt, hm. Ist da ein System hinter? Gucken wir mal:

Ziffer	Pos.	in
10	1	10
100	1	55 (fixed)
1 000	1	370 (fixed)
10 000	3	2777 (fixed)
100 000	1	22222 (fixed)
1 000 000	1	185185
10 000 000	4	1587301
100 000 000	7	13888888
1 000 000 000	1	123456790
10 000 000 000	1	1111111111
100 000 000 000	11	10101010100
1 000 000 000 000	2	91919191919
10 000 000 000 000	5	842592592592
100 000 000 000 000	7	7777777777777
1 000 000 000 000 000	3	72222222222222

Also - die Zahlen sind alle auffällig, aber ein Muster in den Auffälligkeiten sehe ich nicht.

Vielen Dank an Dan und Bob, ohne eure Idee und deren Nachbauten durch Mitch und Bill wäre diese Aufgabe deutlich mühsamer gewesen 😀

Rolf

[Tabellenkalk]

Hallo,

Immerhin bin ich diesmal nicht brute force vorgegangen, sondern mit etwas feinerer Klinge. So richtig fein fand ich sie nicht, ich bin sehr gespannt ob jemand eine schönere Antwort hat als eine Tabelle mit 11 Zeilen.

hm, wenn ich deine Zeilen zähle, finde ich das Ergebnis erst in der 13. Zeile…
Man könnte das natürlich transponieren und käme auf 3 Zeilen ;)

Ich bin mit einer sehr ähnlichen Herangehensweise auf das gleiche Ergebnis gekommen.

Gruß
Kalk

[Rolf B]

Hallo Tabellenkalk,

die Zeilen da oben sind nicht die für die Ermittlung der Ziffer, sondern eine Übersicht über die Eigenschaften der Teilzahl, die die zehnte, hunderste, tausendste etc Ziffer enthält.

Die Überschrift habe ich nicht mitgezählt, und, äh, ja, die Lösung habe ich bei mir aus der 11. Zeile ermittelt und in der 12. Zeile überprüft.

Rolf

[Tabellenkalk]

Hallo,

die Zeilen da oben sind nicht die für die Ermittlung der Ziffer, sondern eine Übersicht über die Eigenschaften der Teilzahl, die die zehnte, hunderste, tausendste etc Ziffer enthält.

hm, aber die 100. Ziffer müsste m.E. eine 5 sein, nämlich die 1. von 55. Wie kommst du da auf 103?

Gruß
Kalk

[Rolf B]

Hallo Tabellenkalk,

vermutlich Zahlen und Ziffern verwechselt in meiner Tabelle. Du hast natürlich recht. Es waren noch 3 andere Fehler drin. Glaube ich wenigstens...

Danke für's Nachrechnen.

Rolf

[Matthias Apsel]

Hallo Rolf B,

leider kann man Privatpost nicht mehr editieren und darum bekomme ich das Markdown dort nicht mehr heraus. Es neu zu schreiben ist mir zu viel Arbeit. Ich nehme an, Matthias kann das per "Antworten" einfacher extrahieren.

Hallo Matthias,

Zuerst hatte ich den amerikanischen Fehler und habe nur bis 10^9 gerechnet. Da kommt man auf das lustige Ergebnis, dass die Zahlen von 1-123456789 zu 999999999 Ziffern führen. Die Milliardste Ziffer ist dann die 1 (von 123456790). Aber - äh - das war nicht das Ziel.

Länge	von	bis	Zahlen	Ziffern	Ziffern total
1	1	9	9	9	9
2	10	99	90	180	189
3	$$10^ 2 $$	$$10^ 3 -1$$	$$9⋅10^ 2 $$	$$27⋅10^2$$	2 889
4	$$10^ 3 $$	$$10^ 4 -1$$	$$9⋅10^ 3 $$	$$36⋅10^3$$	38 889
5	$$10^ 4 $$	$$10^ 5 -1$$	$$9⋅10^ 4 $$	$$45⋅10^4$$	488 889
6	$$10^ 5 $$	$$10^ 6 -1$$	$$9⋅10^ 5 $$	$$54⋅10^5$$	5 888 889
7	$$10^ 6 $$	$$10^ 7 -1$$	$$9⋅10^ 6 $$	$$63⋅10^6$$	68 888 889
8	$$10^ 7 $$	$$10^ 8 -1$$	$$9⋅10^ 7 $$	$$72⋅10^7$$	788 888 889
9	$$10^ 8 $$	$$10^ 9 -1$$	$$9⋅10^ 8 $$	$$81⋅10^8$$	8 888 888 889
10	$$10^ 9 $$	$$10^{10}-1$$	$$9⋅10^ 9 $$	$$90⋅10^9$$	98 888 888 889
11	$$10^{10}$$	91919191918	81919191919	901111111109	999999999998

Nach der Länge von 10 fehlen noch 901.111.111.111 Ziffern bis zur Billion, die aus 11-stelligen Zahlen bestehen müssen. 901111111111 geteilt durch 11 ist 81919191919,2, daraus ergibt sich der bis-Wert 91919191918 in der 11er Zeile.

Habe ich also die Zahlen von 1 bis 91919191918 aneinander gekettet, fehlen noch 2 Ziffern bis zur Billion. Die nächste Teilzahl ist die 91919191919, und deren 2. Ziffer ist die Gesuchte. Auch eine Eins. Wäre gar nicht aufgefallen, wenn ich mein Ergebnis bis zur Milliarde als Lösung gepostet hätte 😂

Rolf

-- sumpsi - posui - obstruxi

Bis demnächst
Matthias

[Rolf B]

Hallo Matthias,

danke 😀

Rolf

[Matthias Apsel]

Hallo alle,

gib eine Gleichung an, mit der man die (10ⁱ). Stelle berechnen kann (in der Form k. Ziffer von n).

Bis demnächst
Matthias

[Rolf B]

Hallo Matthias,

verstehe ich das richtig, dass Du eine Gleichung für zwei Ergebniswerte haben willst? Also eine Funktion

$$s : \mathbb N \mapsto \mathbb N \times \mathbb N$$

die aus i ein n und k bestimmt?

Rolf

[Matthias Apsel]

Hallo Rolf B,

Also eine Funktion die aus i ein n und k bestimmt?

Es dürfen auch zwei Gleichungen sein.

Bis demnächst
Matthias

[Rolf B]

Hallo Matthias,

das wird ziemlich bösartig, weil die 10^11. und 10^12. Stelle beide ein 10-stelliges n haben. Das wird sich in der Gegend von i=100, i=1000 etc sicherlich wiederholen.

Hast Du eine Lösung? Oder das "offene Forschung"?

Rolf

[Matthias Apsel]

Hallo Rolf B,

Hast Du eine Lösung? Oder das "offene Forschung"?

nein, ich habe keine Lösung. Nur ein Excel-Arbeitsblatt und da sah das eigentlich nicht bösartig aus.

Bis demnächst
Matthias