Pyramide und Kugeln

[Der Martin]

Hallo,

Gegeben ist eine reguläre vierseitige Pyramide. Jede Seitenfläche schließt mit der Grundfläche einen Winkel von 60° ein. In diese Pyramide werden zwei Kugeln so einbeschrieben, dass eine Kugel alle fünf Flächen der Pyramide, die zweite die vier Seitenflächen und die erste Kugel berührt.

a) Ermittle das Verhältnis der Volumina der beiden Kugeln.

bis hierher ist es trivial, finde ich. Der richtige Blickwinkel, dann ein paar Grundformeln für gleichseitige Dreiecke. Aufpassen: Es ist nicht das Verhältnis der Radien gefragt, sondern der Volumina! Also das ganze hoch drei.

b) Ermittle die Größe des Winkels zwischen Seiten- und Grundfläche, sodass die beiden Kugeln zusammen das halbe Volumen der Pyramide einnehmen.

Da habe ich momentan noch nicht den richtigen Ansatz. Oder besser gesagt: Den Ansatz hätte ich schon, aber das artet in eine umständliche Rechnerei aus, die mir "nur zum Spaß" meine Zeit nicht wert ist.

Live long and pros healthy,
 Martin