Matthias Apsel: Pyramide und Kugeln – Lösungen

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Hallo Matthias alle, –

a) Ermittle das Verhältnis der Volumina der beiden Kugeln.

Lösung von @Tabellenkalk:

Statt der Pyramide in 3D betrachte ich ein gleichseitiges Dreieck mit zwei entsprechend einbeschreiebenen Kreisen. Das entspricht einem halbierenden Schnitt durch die Pyramide parallel zu einer Grundkante.

Dem Dreieck kann man die Ecken so umklappen, dass sich die Spitzen im Mittelpunkt berühren und man erhält ein gleichseitiges Sechseck. Der große Kreis berührt nun alle 6 Seiten und der kleine Kreis war genau einer umgeklappten Ecke einbeschrieben.

Nun sieht man, dass sich die Radien wie 3:1 verhalten müssen und in 3D folgt daraus ein Verhältnis der Volumina von 27:1.

b) Ermittle die Größe des Winkels zwischen Seiten- und Grundfläche, sodass die beiden Kugeln zusammen das halbe Volumen der Pyramide einnehmen.

Lösung von @Rolf B:

guckst Du hier für ein Bild.

Es ist ein Querschnitt entlang der Mittelsenkrechten durch eine der Seitenkanten. Die halbe Kantenlänge sei k (weil ich nachher ständig mit damit hantieren muss), der Winkel zwischen Grund- und Seitenfläche ist $$\alpha$$.

Die Höhe der Pyramide ist $$h = k \tan\alpha$$

Das Querschnittsdreieck ist gleichschenklig und bei α=60° auch gleichseitig.

Der Radius der unteren Kugel ist der Inkreisradius des Querschnittsdreiecks (Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, der liegt auf h weil das Dreieck gleichschenklig ist), also $$r_1 = k\tan{\frac{\alpha}{2}}$$.

Der Radius der oberen Kugel hängt von der Länge der Strecke g ab. Hier kann ich eine Ähnlichkeitsbeziehung anwenden (Strahlensatz):

$$\displaystyle \frac{g}{h-2r_1} = \frac{k}{h}$$

Die Dreiecke AED und GFH sind ähnlich (2 gleiche Winkel), daher ist $$\frac{r_2}{r_1}=\frac{g}{k}$$ und damit

$$\displaystyle \frac{r_2}{r_1}=\frac{h-2r_1}{h} = 1-\frac{2r_1}{h} =1-\frac{2k\tan{\frac{\alpha}{2}}}{k \tan \alpha}$$

Sieht gruselig aus, aber es gibt ja den Halbwinkelsatz für den Tangens.

$$\tan\alpha = \tan{2\frac{\alpha}{2}} = \frac{2 \tan\frac{\alpha}{2}}{1-\tan^2{\frac{\alpha}{2}}}$$. Wenn man das oben einsetzt und etwas herumrechnet (das latexe ich jetzt nicht zusammen), kommt man auf $$\frac{r_2}{r_1}=\tan^2{\frac{\alpha}{2}}$$. Schick!

Für einen Winkel von 60° ergibt das $$\frac{r_2}{r_1} = \frac{1}{3}$$, und damit ein Verhältnis von 1:27 für die Kugelradien. Teilaufgabe (a) erledigt. Mit elementarer Geometrie kommt man da viel einfacher und fixer hin, aber ich brauche dieses Verhältnis für Teilaufgabe (b) sowieso und die geometrische Rechnung ist eine gute Prüfung dafür, dass die Herleitung soweit stimmt.

Die Kugelvolumina verhalten sich also $$\frac{K_2}{K_1}=\tan^6{\frac{\alpha}{2}}$$. Gar nicht schick 🤯. Und um nicht auszurasten, substituiere ich nun erstmal $$\tan{\frac{\alpha}{2}} = t$$. Damit wird $$r_1$$ zu $$kt$$.

Die Summe der Volumnia ist $$K = K_1(1+t^6) = \frac{4}{3}\pi r_1^3(1+t^6) = \frac{4}{3}\pi k^3 t^3 (1+t^6)$$.

Das ist gleichzusetzen mit dem halben Pyramidenvolumen. Das ganze Volumen ist Grundfläche mal Höhe durch 3, also $$P=\frac{1}{3}\cdot 4k^2\cdot k\tan \alpha = \frac{4}{3}k^3 \frac{2t}{1-t^2}$$.

Letzteres durch erneute Anwendung des Halbwinkelsatzes und Einsetzen von von t für $$\tan{\frac{\alpha}{2}}$$. Nun muss ich K und die Hälfte von P gleichsetzen:

$$\frac{4}{3}\pi k^3 t^3 (1+t^6) = \frac{1}{2}\frac{4}{3}k^3 \frac{2t}{1-t^2}$$

$$\Longleftrightarrow \pi t^3 (1+t^6) = \frac{2t}{1-t^2}$$

$$\Longleftrightarrow \pi (t^2 + t^8) = \frac{2}{1-t^2}$$

$$\Longleftrightarrow (t^2 + t^8)(1 - t^2) = \frac{2}{\pi}$$

$$\Longleftrightarrow t^2 + t^8 - t^4 - t^{10} = \frac{2}{\pi}$$

Dieses Polynom kann ich numerisch betrachten, oder ich kann es Wolfram Alpha vorwerfen. In beiden Fällen lautet das Ergebnis: es gibt keine reelle Lösung. Wolfram findet 10 imaginäre Lösungen.

Teilaufgabe (b) ist damit nicht lösbar. Oder ich habe mich böse verrechnet 😀

Außerdem hat auch @Gunnar Bittersmann eine Lösung für a) eingereicht.

Bis demnächst
Matthias

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