outing – Lösung

[seth]

gudn tach!

Der Flächeninhalt von ähnlichen Figuren hängt quadratisch von deren Längen ab

hehe, ich glaube nicht, dass ein grundschueler, der das weiss, pythagoras noch nicht kennt.

fuer deine loesung braucht man uebrigens, soweit ich es sehe, nicht das parallelogramm verdreifachen, sondern kann auch weiterhin in dem trapez (das man zu einem gleichseitigen dreieck erweitert) arbeiten, siehe angehaengte konstruktion.

und dann sollte es reichen, das gleiche prinzip anzuwenden, was du meinst, nur eben, ohne p ueberhaupt und das wissen dahinter explizit zu verwenden. man braucht dann "nur" die dreiecksflaechenformel und strahlensaetze (aber auch dabei waere ich mir weiterhin unsicher, weil: dreiecksflaechenformel bekannt, aber pytharogas noch nicht? macht das in der grundschule sinn? ich dachte, das kommt immer im doppelpack). egal, die loesung waere jedenfalls dann:

• flaeche A des grossen dreiecks: A = 26 * h / 2
• hoehe h_k des kleinen dreiecks (rechts im trapez) via strahlensatz: 16/26 = (h - h_k)/h -> h_k = 5/13 * h
• flaeche A_k desselben kleinen dreiecks: A_k = 10 * h_k / 2
• flaeche A_v des verbleibenden schnipsel-dreickes (mit stumpfem winkel): A_v = 6 * h_k / 2
• flaeche A_x des gleichseitigen dreiecks mit kantenlaenge x: A_x = A - 3*(A_k + A_v) = 13*h - 3 * (25/13 h + 15/13 h) = 49/13 * h

wir wissen somit ueber die flaeche des dreiecks mit der gesuchten kantenlaenge:

• A_x = x * h_x / 2 = 49/13 * h

auf grund der aehnlichkeit haben wir gemaess strahlensatz das verhaeltnis (seitenlaenge zu hoehe der beiden dreiecke):

• 26/h = x/h_x -> h_x = h * x / 26

zusammen:

• x * h * x / (2 * 26) = 49/13 * h -> x = 14

gruss

seth