Mathematik zum Jahresanfang – Lösung

[Matthias Apsel]

Hallo Gunnar Bittersmann,

Wie groß ist der Anteil der schraffierten Fläche an der Fläche des großen Kreises?

Nachtrag: Die kleinen Kreise haben dieselben Radien. (Und die großen Halbkreise natürlich auch.)

Weil der Gunnar offensichtlich diesen Thread vergessen hat, poste ich jetzt mal meine Lösung.

Der Durchmesser des Umkreises des Rechtecks ist D, das Rechteck hat die Abmessungen a und b, der Durchmesser der kleinsten Kreise ist_d_. Dann gilt:

a² + b² = D² (I)
a = D - 2d (II)
b = a + d (III)

Aus (II) und (III) folgt:

D = 2b - a (IV)

Eingesetzt in (I) ergibt sich:

0 = 3b² + 4ab = b (3b + 4a)

Wegen b > 0 ist das Verhältnis der Rechteckseiten 3:4, also etwa 3 bzw. 4, D ist dann 5 (da ham wers wieder, das berühmte 3-4-5-Dreieck) und d = 1.

Die Quadrate der Durchmesser der gefärbten Kreise ergeben sich zu 12, das Quadrat des großen Durchmessers ist 25. Das gesuchte Verhältnis ist 12:25.

Weil ich den Text aus einer PM kopiert habe, verzichte ich jetzt auf die nachträgliche Schrägstellung der Variablen.

Bis demnächst
Matthias