Mathematik zum Jahresanfang – Lösung

[Rolf B]

Hallo ottogal,

seh ich auch so. Dann kann man auch durch b dividieren und bekommt a/b=3/4 raus, andernfalls wäre das Verhältnis der Seiten negativ. Brrrr.

Ich habe nicht mit den Durchmessern, sondern mit den Radien gerechnet. Und zwar mit k für den kleinen Kreis, h für den Halbkreis und r für den großen Kreis.

Man sieht in der Zeichnung dann zum einen h+2k=r (1), und man sieht auch, dass die oberen Ecken des Rechtecks die y-Koordinate h+k haben. Und weil die Ecken den Abstand r vom Kreismittelpunkt haben, gilt dann h²+(h+k)²=r² (2).

Ich setze oBdA r=1, forme (1) in k=1-2k um und setze das in (2) ein. Mit etwas Umformen ergibt sich daraus 5k²-6k+1=0.

Mitternachtsformel hilf! Sie liefert zwei Lösungen für k, nämlich 1/5 und 1. Davon ist k=1 eine Scheinlösung, weil der kleine Kreis dann genauso groß wäre wie der große Kreis und die Halbkreise negative Radien hätten.

Es bleibt also k=1/5 und k=3/5. Die beiden Halbkreise setze ich zu einem Vollkreis zusammen und bekomme 9 mal π/25. Die drei kleinen Kreise liefern 3 mal π/25, macht 12 mal π/25. Der große Kreis hat die Fläche πr², also 25 mal π/25, und damit komme ich dann auch auf 12/25 als Verhältnis.

Rolf