Mathematik zum Herrentag – Lösung
bearbeitet von Gunnar Bittersmann@@Gunnar Bittersmann
> Finde zwei rationale Zahlen *a*, *b* < 10, für die *a* · *b* = 99.
Das erste, was einem bei 99 einfällt, ist wohl 9 · 11. Die 11 ist aber zu groß.
Das zweite, was einem dann einfallen sollte, wäre (−9) · (−11). Das tut es aber nicht allen (incl. mir); @Tabellenkalk hat eine [Erklärung](https://forum.selfhtml.org/self/2022/may/26/mathematik-zum-herrentag/1799407#m1799407) geliefert, warum nicht.
Vielleicht war es ja gerade im Sinne der Aufgabe ([Quelle](https://twitter.com/blatherwick_sam/status/1529563650222080002)), an die negativen Zahlen zu denken.
@Rolf B hat dann auch gleich die Zusatzaufgabe gestellt:
> Finde zwei **positive** rationale Zahlen *a*, *b* < 10, für die *a* · *b* = 99.
Von 9 · 11 ausgehend muss man die 11 kleiner machen (Faktor *k* mit 0 < *k* < 1) und – damit 99 rauskommt – die 9 entsprechend größer machen (Faktor 1/*k*).
*k* = ⁹⁄₁₀ geht nicht, weil dann *a* = 9 · ¹⁰⁄₉ = 10 und damit nicht mehr kleiner als 10 wäre. Damit haben wir ⁹⁄₁₀ als untere Schranke von *k*.
Die obere Schranke für *k* ergibt sich aus *b* < 10 zu ¹⁰⁄₁₁.
@Rolf B meinte zwar: „Alle Zahlenpaare, die die Aufgabe lösen, kannst Du nicht finden.“ Aber *hold my beer!*{:@en} Das sind sie alle:
**{(9/*k*, 11 · *k*) | ⁹⁄₁₀ < *k* < ¹⁰⁄₁₁, *k* ∈ ℚ}**
Oder wie es @Friedel ausdrückte: „*a* ist eine beliebige rationale Zahl zwischen 9,9 und 10. *b* ist 99/*a*.“
@Der Martin und @encoder wählten beispielhaft *k* = ¹⁰⁰⁄₁₁₁; @Rolf B und ich wählten *k* = ⁹⁹⁹⁄₁₁₀₀:
$$\frac{999}{100}\cdot\frac{1100}{111}=99=\frac{1100}{111}\cdot\frac{999}{100}$$
---
Aber auch eine andere Überlegung führt zum Ziel. Wie es @Rolf B ausdrückte: „Der einfachste Weg führt zum Zahnarzt: eine Wurzelbehandlung.“
Ohne die Einschränkung auf rationale Zahlen wären zwei Zahlen schnell gefunden: *a* = *b* = √99 ≈ 9,94987. Wir suchen nun zwei rationale Zahlen: die eine etwas kleiner als √99, die andere etwas größer.
*a* = 9,95 = ¹⁹⁹⁄₂₀ scheint ein guter Kandidat zu sein. *b* = 99/*a* = ¹⁹⁸⁰⁄₁₉₉ < ¹⁹⁹⁰⁄₁₉₉ = 10.
@Rolf B verweis auch noch darauf, dass auch das [Heron-Verfahren](https://de.wikipedia.org/wiki/Heron-Verfahren) zu dieser Lösung führt.
In dem Zusammenhang: [*Back to the roots*{:@en} – Wurzeln ziehen in CSS](https://noti.st/gunnarbittersmann/3MjtGY/back-to-the-roots).
🖖 Живіть довго і процвітайте
{:@uk}
--
*When the power of love overcomes the love of power the world will know peace.*{:@en}
— Jimi Hendrix
Mathematik zum Herrentag – Lösung
bearbeitet von Gunnar Bittersmann@@Gunnar Bittersmann
> Finde zwei rationale Zahlen *a*, *b* < 10, für die *a* · *b* = 99.
Das erste, was einem bei 99 einfällt, ist wohl 9 · 11. Die 11 ist aber zu groß.
Das zweite, was einem dann einfallen sollte, wäre (−9) · (−11). Das tut es aber nicht allen (incl. mir); @Tabellenkalk hat eine [Erklärung](https://forum.selfhtml.org/self/2022/may/26/mathematik-zum-herrentag/1799407#m1799407) geliefert, warum nicht.
Vielleicht war es ja gerade im Sinne der Aufgabe ([Quelle](https://twitter.com/blatherwick_sam/status/1529563650222080002)), an die negativen Zahlen zu denken.
@Rolf B hat dann auch gleich die Zusatzaufgabe gestellt:
> Finde zwei **positive** rationale Zahlen *a*, *b* < 10, für die *a* · *b* = 99.
Von 9 · 11 ausgehend muss man die 11 kleiner machen (Faktor *k* mit 0 < *k* < 1) und – damit 99 rauskommt – die 9 entsprechend größer machen (Faktor 1/*k*).
*k* = ⁹⁄₁₀ geht nicht, weil dann *a* = 9 · ¹⁰⁄₉ = 10 und damit nicht mehr kleiner als 10 wäre. Damit haben wir ⁹⁄₁₀ als untere Schranke von *k*.
Die obere Schranke für *k* ergibt sich aus *b* < 10 zu ¹⁰⁄₁₁.
@Rolf B meinte zwar: „Alle Zahlenpaare, die die Aufgabe lösen, kannst Du nicht finden.“ Aber *hold my beer!*{:@en} Das sind sie alle:
**{(9/*k*, 11 · *k*) | ⁹⁄₁₀ < *k* < ¹⁰⁄₁₁, *k* ∈ ℚ}**
Oder wie es @Friedel ausdrückte: „*a* ist eine beliebige rationale Zahl zwischen 9,9 und 10. *b* ist 99/*a*.“
@Der Martin und @encoder wählten beispielhaft *k* = ¹⁰⁰⁄₁₁₁; @Rolf B und ich wählten *k* = ⁹⁹⁹⁄₁₁₀₀:
$$\frac{999}{100}\cdot\frac{1100}{111}=99=\frac{1100}{111}\cdot\frac{999}{100}$$
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Aber auch eine andere Überlegung führt zum Ziel. Wie es @Rolf B ausdrückte: „Der einfachste Weg führt zum Zahnarzt: eine Wurzelbehandlung.“
Ohne die Einschränkung auf rationale Zahlen wären zwei Zahlen schnell gefunden: *a* = *b* = √99 ≈ 9,94987. Wir suchen nun zwei rationale Zahlen: die eine etwas kleiner als √99, die andere etwas größer.
*a* = 9,95 = ¹⁹⁹⁄₂₀ scheint ein guter Kandidat zu sein. *b* = 99/*a* = ¹⁹⁸⁰⁄₁₉₉ < ¹⁹⁹⁰⁄₁₉₉ = 10.
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