tag:forum.selfhtml.org,2005:/selfMathematik zum Wochenende – SELFHTML-Forum2017-11-03T09:08:34Zhttps://forum.selfhtml.org/self/2017/oct/21/mathematik-zum-wochenende/1706567#m1706567Gunnar Bittersmannselfhtml@bittersmann.dehttp://bittersmann.de2017-10-21T08:35:00Z2017-10-21T08:36:10ZMathematik zum Wochenende<p><a href="/images/956c9809-05da-40e8-bf97-a5c260142728.jpg" rel="noopener noreferrer"><img src="/images/956c9809-05da-40e8-bf97-a5c260142728.jpg?size=medium" alt="" loading="lazy"></a></p>
<p>Wieder mal ein Würfelspiel: Würfel <em>ABCDEFGH</em> mit Kantenlänge 2, <em>P</em> Mittelpunkt von <em>BF</em>.</p>
<p>Wieder wird der Würfel durch eine Ebene geteilt: durch die von <em>A</em>, <em>G</em> und <em>P</em> aufgespannte.</p>
<p><s>Wieder</s> Diesmal ist nicht nach Volumen gefragt, sondern nach dem Flächeninhalt der Schnittfläche.</p>
<p>LLAP </p>
<div class="signature">-- <br>
“When UX doesn’t consider <em>all</em> users, shouldn’t it be known as ‘<em>Some</em> User Experience’ or... SUX? #a11y” —<a href="https://twitter.com/thebillygregory/status/552466012713783297" rel="nofollow noopener noreferrer">Billy Gregory</a>
</div>
https://forum.selfhtml.org/self/2017/oct/21/mathematik-zum-wochenende/1706568#m1706568Gunnar Bittersmannselfhtml@bittersmann.dehttp://bittersmann.de2017-10-21T08:39:49Z2017-10-21T08:40:27Znoch mehr Mathematik zum Wochenende<p>@@Gunnar Bittersmann</p>
<p>Und wem die Aufgabe zu einfach ist, hier noch eine:</p>
<p><a href="/images/1a6a0463-ff72-4e17-98ad-0188ee3e7175.jpg" rel="noopener noreferrer"><img src="/images/1a6a0463-ff72-4e17-98ad-0188ee3e7175.jpg?size=medium" alt="" loading="lazy"></a></p>
<p>Sehnensechseck mit Kantenlängen 2, 2, 7, 7, 11, 11. Wie groß ist der Radius des Kreises?</p>
<p>LLAP </p>
<div class="signature">-- <br>
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https://forum.selfhtml.org/self/2017/oct/21/mathematik-zum-wochenende/1706690#m1706690Gunnar Bittersmannselfhtml@bittersmann.dehttp://bittersmann.de2017-10-22T14:17:52Z2017-10-22T14:32:51ZMathematik zum Wochenende – Lösung<p>@@Gunnar Bittersmann</p>
<p>Die Aufgabe war eigentlich nicht schwer – wenn einem das räumliches Vorstellungsvermögen keinen Streich spielt. (Wir mir. Aber ich war in guter Gesellschaft. )</p>
<p>Gefragt war die Größe der <em>Schnittfläche</em> der Ebene <em>AGP</em> mit dem Würfel – und die beschränkt sich nicht auf das <em>Dreieck</em> <em>AGP</em>, sondern geht auf der anderen Seite der Raumdiagonalen <em>AG</em> weiter. Die Schnittfläche ist das Viereck <em>AQGP</em> (<em>Q</em> ist der Mittelpunkt der Kante <em>DH</em>). Alle Seiten sind Hypotenusen in rechtwinkligen Dreiecken mit den Kathetenlängen 1 und 2, also gleich lang; die Schnittfläche ist also ein Rhombus.</p>
<p><a href="/images/2e3dbe96-b5cf-4fe5-8490-9389b6727e7e.jpeg" rel="noopener noreferrer"><img src="/images/2e3dbe96-b5cf-4fe5-8490-9389b6727e7e.jpeg?size=medium" alt="Skizze" loading="lazy"></a></p>
<p>Die Fläche eines Drachenvierecks (was ein Rhombus ja ist) ist halb so groß wie die Fläche des Rechtecks aus seinen Diagonalen. Die eine Diagonale <em>AG</em> ist die Raumdiagonale des Würfels, also 2√3 lang. Die andere Diagonale <em>PQ</em> ist so lang wie die Diagonale der Seitenflächen, also 2√2. Die Schnittfläche ist also ½ ⋅ 2√3 ⋅ 2√2 = <strong>2√6</strong>. (@ottogal und @Tabellenkalk hatten’s so.)</p>
<p>Andere Möglichkeit: Koordinatensystem mit <em>A</em> als Ursprung, <em>B</em> auf <em>x</em>-Achse, <em>D</em> auf <em>y</em>-Achse, <em>E</em> auf <em>z</em>-Achse. <em>P</em> hat darin die Koordinaten (2, 0, 1), <em>Q</em> die Koordinaten (0, 2, 1). Die Fläche des von den Vektoren <em>AP</em> und <em>AQ</em> aufgespannten Parallelogramms (was ein Rhombus ja ist) ist |<em>AP</em> × <em>AQ</em>|.</p>
<p>$$\begin{align} \overrightarrow{AP} \times \overrightarrow{AQ} &= \begin{vmatrix}
\overrightarrow{e_x} & \overrightarrow{e_y} & \overrightarrow{e_z} <br>
2 & 0 & 1 <br>
0 & 2 & 1\end{vmatrix} = \begin{pmatrix}
-2 \ -2 \ 4\end{pmatrix} <br>
\vert \overrightarrow{AP} \times \overrightarrow{AQ} \vert &= \sqrt{4+4+16} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{1+1+4} = 2 \sqrt{6} \end{align}$$</p>
<p>Noch eine Möglichkeit (so hatte ich’s zuerst gemacht): Die Schnittfläche ist doppelt so groß wie das Dreieck <em>AGP</em>; dessen Fläche berechnet sich aus den Seitenlängen 2√3, √5 und √5 nach der <a href="https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_des_Heron" rel="nofollow noopener noreferrer">heronischen Formel</a>:</p>
<p>$$\begin{align}
s &= \sqrt{5} + \sqrt{3} <br>
A_{AGP} &= \sqrt{ \left( \sqrt{5} + \sqrt{3} \right) \cdot \left( \sqrt{5} - \sqrt{3} \right) \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \sqrt{ \left( 5 - 3 \right) \cdot 3} = \sqrt{6} <br>
A_{AQGP} &= 2\sqrt{6} \end{align}$$</p>
<hr>
<p>Was ist denn mit der <a href="https://forum.selfhtml.org/self/2017/oct/21/mathematik-zum-wochenende/1706568#m1706568" rel="noopener noreferrer">anderen Aufgabe</a>? Will keiner? Braucht ihr einen Tip? Ich hab’s über Winkelfunktionen gelöst. Aber auch nicht auf Anhieb am ersten Tag.</p>
<p>LLAP </p>
<div class="signature">-- <br>
“When UX doesn’t consider <em>all</em> users, shouldn’t it be known as ‘<em>Some</em> User Experience’ or... SUX? #a11y” —<a href="https://twitter.com/thebillygregory/status/552466012713783297" rel="nofollow noopener noreferrer">Billy Gregory</a>
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https://forum.selfhtml.org/self/2017/oct/21/mathematik-zum-wochenende/1706784#m1706784Gunnar Bittersmannselfhtml@bittersmann.dehttp://bittersmann.de2017-10-23T19:37:34Z2017-12-04T11:27:02Znoch mehr Mathematik zum Wochenende – Lösung<p>@@Gunnar Bittersmann</p>
<p>Stellen wir uns das mal räumlich vor – als Pizza. Dass deren Volumen bei Radius <em>z</em> und Dicke <em>a</em> gleich <em>pi z z a</em> ist, tut hier nichts zur Sache. Wir können bei der Benennung <em>r</em> für den Radius bleiben. Selbstredend <em>r</em> > 0; Pizzateig wird ja aus- und nicht eingerollt.</p>
<p>Wir schneiden die Pizza so in 6 Stücke (immer schön durch die Mitte), dass die Sehnen entsprechende Längen haben. Nun können wir die Stücken auch vertauschen: 2, 7, 11, 2, 7, 11 – wir haben immer noch die ganze Pizza kreisrund auf dem Tisch. Nur dass wir die Hälfte davon zur Lösung der Aufgabe nicht mehr brauchen. Der Hund unterm Tisch freut sich. </p>
<p>Wir behalten nur ein großes, ein mittleres und ein kleines Stück. Diese teilen wir in der Mitte nochmal. Der Zentriwinkel der kleinen Hälften sei <em>α</em>, der der mittleren <em>β</em> und der der großen <em>γ</em>.</p>
<p><a href="/images/9fb4b0f0-9de1-4eef-9e8f-fe774ddc942a.jpeg" rel="noopener noreferrer"><img src="/images/9fb4b0f0-9de1-4eef-9e8f-fe774ddc942a.jpeg?size=medium" alt="Skizze" loading="lazy"></a></p>
<p>Dann ist</p>
<p>$$\begin{align} \sin \alpha &= \frac{1}{r} <br>
\sin \beta &= \frac{7}{2r} <br>
\sin \gamma &= \frac{11}{2r} <br>
\alpha + \beta + \gamma &= \tfrac{1}{2} \pi \qquad \alpha + \beta = \tfrac{1}{2} \pi - \gamma \end{align}$$</p>
<p>Ein Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 4 Unbekannten – das sollte zu lösen sein.</p>
<p>Cowinkelbeziehung:</p>
<p>$$\sin \gamma = \cos \left( \tfrac{1}{2} \pi - \gamma \right) = \cos \left( \alpha + \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \quad (*)$$</p>
<p>Wir brauchen noch die Cosinüsse:</p>
<p>$$\begin{align} \cos \alpha &= \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \frac{\sqrt{r^2 -1}}{r} <br>
\cos \beta &= \sqrt{1 - \sin^2 \beta} = \frac{\sqrt{4r^2 -49}}{2r} \end{align}$$</p>
<p>Alles in (*) eingesetzt:</p>
<p>$$\begin{align}
\frac{11}{2r} &= \frac{\sqrt{r^2 -1}}{r} \frac{\sqrt{4r^2 -49}}{2r} - \frac{1}{r} \frac{7}{2r} <br>
11r &= \sqrt{r^2 -1} \sqrt{4r^2 - 49} - 7 <br>
11r + 7 &= \sqrt{r^2 -1} \sqrt{4r^2 - 49} <br>
\left( 11r + 7 \right)^2 &= \left( r^2 -1 \right) \left( 4r^2 - 49 \right) <br>
121r^2 + 154r + 49 &= 4r^4 -53r^2 + 49 <br>
0 &= 4r^4 - 174r^2 - 154r <br>
0 & = 2r^3 - 87r - 77 <br>
\end{align}$$</p>
<p>Durch Probieren findet man die ganzzahlige Lösung <em>r</em>₁ = 7. (Schwein gehabt.)</p>
<p>Polynomdivision:</p>
<p>$$\begin{align}
\left( 2r^3 - 87r -77 \right) : \left( r - 7 \right) &= 2r^2 + 14r + 11 <br>
0 &= r^2 + 7r + \tfrac{11}{2} <br>
r_{2,3} &= -\tfrac{7}{2} \pm \sqrt{\tfrac{49}{4} - \tfrac{22}{4}} = -\tfrac{7}{2} \pm \tfrac{\sqrt{27}}{2} < 0
\end{align}$$</p>
<p>Die anderen beiden Lösungen fallen also als Werte für <em>r</em> aus.</p>
<p>Bleibt übrig: <strong><em>r</em> = 7</strong> – und die halbe Pizza. Die können wir jetzt auch dem Hund geben – oder selber essen. Wohl bekomm’s! </p>
<p>LLAP </p>
<div class="signature">-- <br>
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</div>
https://forum.selfhtml.org/self/2017/oct/21/mathematik-zum-wochenende/1706694#m1706694Tabellenkalk2017-10-22T14:56:50Z2017-10-22T14:56:50ZMathematik zum Wochenende – Lösung<p>Hallo,</p>
<blockquote>
<p>Was ist denn mit der <a href="https://forum.selfhtml.org/self/2017/oct/21/mathematik-zum-wochenende/1706568#m1706568" rel="noopener noreferrer">anderen Aufgabe</a>? Will keiner? Braucht ihr einen Tip? Ich hab’s über Winkelfunktionen gelöst. Aber auch nicht auf Anhieb am ersten Tag.</p>
</blockquote>
<p>das mit den Winkelfunktionen ist zulang her, im Prinzip finden sich drei gleichschenklige Dreiecke, alle mit den selben Schenkeln r. Da hat man vier Unbekannte: drei Winkel und den Radius. Da kann man drei ähnliche Gleichungen draus machen, die aber noch nicht zur Lösung führen.</p>
<p>Eine vierte Gleichung ergibt sich aus der Summe der drei Winkel, die PI ergeben. Nun sollte sich der Radius errechnen lassen.</p>
<p>Gruß<br>
Kalk</p>
https://forum.selfhtml.org/self/2017/oct/21/mathematik-zum-wochenende/1706730#m1706730ottogal2017-10-23T09:03:01Z2017-10-23T09:03:01ZMathematik zum Wochenende – Lösung<p>Meine Vermutung eines (erstaunlicher Weise) ganzzahligen Radiuswertes ließ sich durch Nachrechnen numerisch bestätigen. Aber für eine Herleitung fehlt mir noch ein Einfall.</p>
https://forum.selfhtml.org/self/2017/oct/21/mathematik-zum-wochenende/1706728#m1706728Gunnar Bittersmannselfhtml@bittersmann.dehttp://bittersmann.de2017-10-23T08:20:34Z2017-10-23T08:20:34ZMathematik zum Wochenende – Lösung<p>@@Tabellenkalk</p>
<blockquote>
<p>Da hat man vier Unbekannte: drei Winkel und den Radius. Da kann man drei ähnliche Gleichungen draus machen, die aber noch nicht zur Lösung führen.</p>
<p>Eine vierte Gleichung ergibt sich aus der Summe der drei Winkel, die PI ergeben. Nun sollte sich der Radius errechnen lassen.</p>
</blockquote>
<p>Aber ja!</p>
<p>LLAP </p>
<div class="signature">-- <br>
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https://forum.selfhtml.org/self/2017/oct/21/mathematik-zum-wochenende/1706737#m1706737Gunnar Bittersmannselfhtml@bittersmann.dehttp://bittersmann.de2017-10-23T10:16:14Z2017-10-23T10:16:14ZMathematik zum Wochenende – Lösung<p>@@ottogal</p>
<blockquote>
<p>Meine Vermutung eines (erstaunlicher Weise) ganzzahligen Radiuswertes</p>
</blockquote>
<p>Wenn er nicht ganzzahlig wäre, hätte ich ein Problem gehabt.</p>
<blockquote>
<p>Aber für eine Herleitung fehlt mir noch ein Einfall.</p>
</blockquote>
<p>Dann warte ich noch ein bisschen mit der Veröffentlichung der Lösung …</p>
<p>LLAP </p>
<div class="signature">-- <br>
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https://forum.selfhtml.org/self/2017/oct/21/mathematik-zum-wochenende/1706809#m1706809Gunnar Bittersmannselfhtml@bittersmann.dehttp://bittersmann.de2017-10-24T08:35:20Z2017-10-25T10:46:19Znoch mehr Mathematik zum Wochenende – Lösung<p>@@Gunnar Bittersmann</p>
<blockquote>
<p>Wir behalten nur ein großes, ein mittleres und ein kleines Stück.</p>
</blockquote>
<p>Da kommt die Pizza noch mal hoch. (Ich hätte sie doch dem Hund geben sollen.)</p>
<blockquote>
<p>Der Zentriwinkel der kleinen Hälften sei <em>α</em>, der der mittleren <em>β</em> und der der großen <em>γ</em>.</p>
<p><a href="/images/9fb4b0f0-9de1-4eef-9e8f-fe774ddc942a.jpeg" rel="noopener noreferrer"><img src="/images/9fb4b0f0-9de1-4eef-9e8f-fe774ddc942a.jpeg?size=medium" alt="Skizze" loading="lazy"></a></p>
</blockquote>
<p>Offensichtlich ist 2<em>α</em> < π, <em>α</em> < ½π also spitz. <em>β</em> ebenso.</p>
<blockquote>
<p>Wir brauchen noch die Cosinüsse:</p>
<p>$$\begin{align} \cos \alpha &= \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \frac{\sqrt{r^2 -1}}{r} <br>
\cos \beta &= \sqrt{1 - \sin^2 \beta} = \frac{\sqrt{4r^2 -49}}{2r} \end{align}$$</p>
</blockquote>
<p>Und wir brauchen hier die Bedingung <em>α</em>, <em>β</em> ≤ ½π, damit das stimmt. Für ½π ≤ <em>α</em> ≤ ³⁄₂π wäre ja cos <em>α</em> = −√(1 − sin² <em>α</em>).</p>
<p>LLAP </p>
<div class="signature">-- <br>
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</div>
https://forum.selfhtml.org/self/2017/oct/21/mathematik-zum-wochenende/1706962#m1706962Gunnar Bittersmannselfhtml@bittersmann.dehttp://bittersmann.de2017-10-25T12:43:38Z2017-10-28T15:21:50Znoch mehr Mathematik zum Wochenende – Lösung<p>@@Gunnar Bittersmann</p>
<p>Einen anderen Weg ist @ottogal gegangen: Man nimmt an, dass die Lösung 7 ist und beweist das.</p>
<p>Augenmaß anhand einer Skizze oder GeoGebra – wie man auf die 7 kommt, ist wie beim tapferem Schneiderlein egal, wenn denn der Beweis geführt wird.</p>
<p>@ottogal hatte aus demselben Gleichungssystem über das Additionstheorem $$\arcsin x + \arcsin y = \arcsin \left( x \sqrt{1 - y^2} + y \sqrt{1 - x^2} \right)$$<br>
(Was es nicht alles gibt!) die Gültigkeit gezeigt.</p>
<p>Geht auch anders: Das Gleichungssystem brauchen wir nicht. Wir sortieren die Pizzastücken etwas anders: 7, 2, 11. Und wir müssen sie gar nicht halbieren.</p>
<p><a href="/images/c55a536a-f268-45a5-8a4f-3fafa5c0f55a.jpeg" rel="noopener noreferrer"><img src="/images/c55a536a-f268-45a5-8a4f-3fafa5c0f55a.jpeg?size=medium" alt="Skizze" loading="lazy"></a></p>
<p><em>AB</em> ist Durchmesser des Kreises mit Radius 7. Wir drehen den Spieß um und wählen <em>C</em> so auf der Peripherie, dass <em>AC</em> = 7 (das Dreieck <em>AMC</em> also gleichseitig ist); <em>D</em> so auf der Peripherie, dass <em>CD</em> = 2. Zu zeigen ist nun, dass dann <em>DB</em> = 11 ist.</p>
<p>Dazu wählen wir <em>E</em> so auf der Peripherie, dass die Dreiecke <em>CME</em> und <em>MBE</em> ebenfalls gleichseitig sind.</p>
<p>∠<em>BDC</em> und ∠<em>BEC</em> sind Peripheriewinkel über derselben Sehne <em>CB</em>, also beide jeweils ⅔π = 120° groß. Nach Pythagoras ist <em>CB</em> = 7√3.</p>
<p>Cosinussatz in Dreieck <em>CBD</em>:</p>
<p><em>CB</em>² = <em>CD</em>² + <em>DB</em>² − 2 <em>CD</em> <em>DB</em> cos⅔π<br>
7² ⋅ 3 = 2² + <em>DB</em>² − 2 ⋅ 2 ⋅ <em>DB</em> ⋅ (−½)<br>
147 = 4 + <em>DB</em>² + 2 <em>DB</em><br>
0 = <em>DB</em>² + 2 <em>DB</em> − 143<br>
<em>DB</em> = −1 ± √144<br>
<em>DB</em> = 11, q.e.d</p>
<p>LLAP </p>
<div class="signature">-- <br>
“When UX doesn’t consider <em>all</em> users, shouldn’t it be known as ‘<em>Some</em> User Experience’ or... SUX? #a11y” —<a href="https://twitter.com/thebillygregory/status/552466012713783297" rel="nofollow noopener noreferrer">Billy Gregory</a>
</div>
https://forum.selfhtml.org/self/2017/oct/21/mathematik-zum-wochenende/1707659#m1707659ottogal2017-11-03T06:48:25Z2017-11-03T06:48:25Znoch mehr Mathematik zum Wochenende – Lösung<p>@Gunnar Bittersmann: Auf den Cosinussatz zurückzugreifen ist freilich schöner als auf ein Additionstheorem, das keiner kennt (und das ich auch nur mit Glück gefunden habe).</p>
<p>Nichts gegen den Charme einer Freihandskizze, im Gegenteil - aber ein bisschen gleichseitiger hätten deine drei Dreiecke schon aussehen dürfen. </p>
https://forum.selfhtml.org/self/2017/oct/21/mathematik-zum-wochenende/1707674#m1707674Gunnar Bittersmannselfhtml@bittersmann.dehttp://bittersmann.de2017-11-03T09:08:34Z2017-11-03T09:08:34Znoch mehr Mathematik zum Wochenende – Lösung<p>@@ottogal</p>
<blockquote>
<p>Nichts gegen den Charme einer Freihandskizze, im Gegenteil - aber ein bisschen gleichseitiger hätten deine drei Dreiecke schon aussehen dürfen. </p>
</blockquote>
<p>Der Charme einer Freihandskizze besteht darin, dass man nicht nach Augenmaß Gleichheit von Längen oder Winkeln annimmt, die gar nicht gegeben ist. </p>
<p>LLAP </p>
<div class="signature">-- <br>
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</div>