Mathematik zum Wochenende – SELFHTML-Forum Forum als Ergänzung zum SELFHTML-Wiki und zur Dokumentation SELFHTML https://forum.selfhtml.org/self Mathematik zum Wochenende Fri, 08 Feb 19 20:35:22 Z https://forum.selfhtml.org/self/2019/feb/8/mathematik-zum-wochenende/1742252#m1742252 https://forum.selfhtml.org/self/2019/feb/8/mathematik-zum-wochenende/1742252#m1742252 <p>Hallo alle,</p> <p>ich weiß, ihr habt drauf gewartet. </p> <p>Eine Gerade kann die Ebene in maximal zwei Gebiete teilen.<br> Zwei Geraden können die Ebene in maximal vier Gebiete teilen.<br> Drei Geraden können die Ebene in maximal sieben Gebiete teilen.</p> <p>In maximal wieviele Gebiete kann die Ebene durch <em>n</em> Geraden geteilt werden?</p> <p>Bis demnächst<br> Matthias</p> <div class="signature">-- <br> Pantoffeltierchen haben keine Hobbys. </div> Mathematik zum Wochenende Sat, 09 Feb 19 12:34:07 Z https://forum.selfhtml.org/self/2019/feb/8/mathematik-zum-wochenende/1742302#m1742302 https://forum.selfhtml.org/self/2019/feb/8/mathematik-zum-wochenende/1742302#m1742302 <p>Hallo Mathias,</p> <p>[LÖSUNG]</p> <p>Viele Grüße</p> <p>Julia</p> Mathematik zum Wochenende - Lösung Mon, 11 Feb 19 06:57:59 Z https://forum.selfhtml.org/self/2019/feb/8/mathematik-zum-wochenende/1742430#m1742430 https://forum.selfhtml.org/self/2019/feb/8/mathematik-zum-wochenende/1742430#m1742430 <p>Hallo Matthias Apsel,</p> <blockquote> <p>In maximal wieviele Gebiete kann die Ebene durch <em>n</em> Geraden geteilt werden?</p> </blockquote> <p>Ob die Argumentationskette wirklich als Beweis gilt, …</p> <p>Wenn eine Gerade eine schon irgendwie durch <em>n</em> Geraden unterteilte Ebene so teilen soll, dass möglichst viele neue Gebiete entstehen soll, muss diese Gerade alle vorhandenen Geraden so schneiden, dass keine Schnittpunkte zusammenfallen. Dass sie keine der vorhandenen Geraden mehr als einmal schneiden kann, sollte auch klar sein.</p> <p>Deshalb verläuft die neue Gerade durch <em>n + 1</em> Gebiete, das zwischen „Anfang der Ebene“ und erster Gerade, das zwischen erster und zweiter Gerade, … das zwischen vorletzter und letzter Gerade und das zwischen letzter Gerade und dem „Ende der Ebene“.</p> <p>Die Zählung erfolgt dabei aus der Sicht der neuen Geraden und ist nicht etwa die Reihenfolge der Erzeugung der Vorgängergeraden.</p> <p><a href="/images/62b9025a-5483-4270-b325-59058217187f.png" rel="noopener noreferrer"><img src="/images/62b9025a-5483-4270-b325-59058217187f.png?size=medium" alt="" loading="lazy"></a></p> <p>Die <em>n</em>-te Gerade kann also maximal <em>n</em> + 1 neue Gebiete erzeugen. Es gilt</p> <p>$$g = \sum_{k=1}^n i + 1 = 1 + \sum_{k=1}^n i = 1 + \frac{n}{2} \cdot (n + 1) = \frac{n^2 + n + 2}{2}$$</p> <p>Wer das nun beweisen möchte, kann das gern mit vollständiger Induktion tun.</p> <p>Richtige Antworten kamen von <a href="/users/2647" class="mention registered-user" rel="noopener noreferrer">@encoder</a> und <a href="/users/6547" class="mention registered-user" rel="noopener noreferrer">@Rolf B</a>. Auch das, was <a href="https://forum.selfhtml.org/m1742302" rel="noopener noreferrer">@Julia</a> schrieb war (auf den flüchtigen Blick) richtig.</p> <p>Eine kleine Zusatzaufgabe: Wieviele Schnittpunkte zwischen <em>n</em> Geraden kann es maximal geben?</p> <p>Bis demnächst<br> Matthias</p> <div class="signature">-- <br> Pantoffeltierchen haben keine Hobbys. </div> Mathematik zum Wochenende Sat, 09 Feb 19 15:36:11 Z https://forum.selfhtml.org/self/2019/feb/8/mathematik-zum-wochenende/1742323#m1742323 https://forum.selfhtml.org/self/2019/feb/8/mathematik-zum-wochenende/1742323#m1742323 <p>Hallo Julia,</p> <blockquote> <p>[LÖSUNG]</p> </blockquote> <p>Wir wollen doch den anderen auch noch ein wenig Knobelei lassen. </p> <p>Bis demnächst<br> Matthias</p> <div class="signature">-- <br> Pantoffeltierchen haben keine Hobbys. </div> Mathematik zum Wochenende Sat, 09 Feb 19 17:42:15 Z https://forum.selfhtml.org/self/2019/feb/8/mathematik-zum-wochenende/1742339#m1742339 https://forum.selfhtml.org/self/2019/feb/8/mathematik-zum-wochenende/1742339#m1742339 <p>@@Matthias Apsel</p> <blockquote> <blockquote> <p>[LÖSUNG]</p> </blockquote> <p>Wir wollen doch den anderen auch noch ein wenig Knobelei lassen. </p> </blockquote> <p>Dann lag Julia wohl richtig – und ich damit auch?</p> <p>Meine Begründung ist aber noch weit davon entfernt, ein Beweis zu sein.</p> <p>LLAP </p> <div class="signature">-- <br> <em>„Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“</em> —Kurt Weidemann </div> Mathematik zum Wochenende Sat, 09 Feb 19 22:45:06 Z https://forum.selfhtml.org/self/2019/feb/8/mathematik-zum-wochenende/1742361#m1742361 https://forum.selfhtml.org/self/2019/feb/8/mathematik-zum-wochenende/1742361#m1742361 <p>Hallo Gunnar Bittersmann,</p> <blockquote> <p>Dann lag Julia wohl richtig – und ich damit auch?</p> </blockquote> <p>weiß ich gar nicht.</p> <blockquote> <p>Meine Begründung ist aber noch weit davon entfernt, ein Beweis zu sein.</p> </blockquote> <p>Auf einen Beweis kann man auch verzichten, wenn man manche Tatsachen als allgemein bekannt betrachtet. Hint: Für 100 ergibt sich 5051.</p> <p>Bis demnächst<br> Matthias</p> <div class="signature">-- <br> Pantoffeltierchen haben keine Hobbys. </div> Mathematik zum Wochenende Sun, 10 Feb 19 13:25:01 Z https://forum.selfhtml.org/self/2019/feb/8/mathematik-zum-wochenende/1742385#m1742385 https://forum.selfhtml.org/self/2019/feb/8/mathematik-zum-wochenende/1742385#m1742385 <p>Hallo Matthias,</p> <p>JCFG lässt grüßen :)</p> <p><em>Rolf</em></p> <div class="signature">-- <br> sumpsi - posui - clusi </div> Mathematik zum Wochenende - Auflösung der Zusatzaufgabe Fri, 15 Feb 19 12:36:20 Z https://forum.selfhtml.org/self/2019/feb/8/mathematik-zum-wochenende/1742744#m1742744 https://forum.selfhtml.org/self/2019/feb/8/mathematik-zum-wochenende/1742744#m1742744 <p>Hallo Matthias Apsel,</p> <blockquote> <p>Eine kleine Zusatzaufgabe: Wieviele Schnittpunkte zwischen <em>n</em> Geraden kann es maximal geben?</p> </blockquote> <p><a href="/users/2647" class="mention registered-user" rel="noopener noreferrer">@encoder</a> schrieb: Eine Gerade die zu n-1 Geraden hinzukommt (also sinds jetzt n Geraden), kann maximal n-1 Schnittpunkte erzeugen.</p> <table> <thead> <tr> <th style="text-align:center">Anzahl Geraden</th> <th style="text-align:center">maximale Anzahl Schnittpunkte</th> <th style="text-align:center">Summe der ersten natürlichen Zahlen</th> <th style="text-align:center">maximale Anzahl Gebiete</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td style="text-align:center">1</td> <td style="text-align:center">0</td> <td style="text-align:center">1</td> <td style="text-align:center">2</td> </tr> <tr> <td style="text-align:center">2</td> <td style="text-align:center">1</td> <td style="text-align:center">3</td> <td style="text-align:center">4</td> </tr> <tr> <td style="text-align:center">3</td> <td style="text-align:center">3</td> <td style="text-align:center">6</td> <td style="text-align:center">7</td> </tr> <tr> <td style="text-align:center">4</td> <td style="text-align:center">6</td> <td style="text-align:center">10</td> <td style="text-align:center">11</td> </tr> <tr> <td style="text-align:center">⋮</td> <td style="text-align:center">⋮</td> <td style="text-align:center">⋮</td> <td style="text-align:center">⋮</td> </tr> <tr> <td style="text-align:center">n</td> <td style="text-align:center">$$\displaystyle \sum_{g=1}^{n-1} g$$</td> <td style="text-align:center">$$\displaystyle \sum_{g=1}^{n} g$$</td> <td style="text-align:center">$$\displaystyle 1 + \sum_{g=1}^{n} g$$</td> </tr> </tbody> </table> <p>Bis demnächst<br> Matthias</p> <div class="signature">-- <br> Pantoffeltierchen haben keine Hobbys. </div>