Aloha ;)

Man sollte also bei
$$\left( a + b \right) ^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$
nicht von „der binomischen Formel“ sprechen, damit der Begriff für $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$ frei wird?

Das habe ich so nie behauptet. Auch das ist "eine" binomische Formel, oder "die" binomische Formel, wenn man das "die Formel" sieht wie "der Lehrsatz" in "der binomische Lehrsatz". Alle die genannten Formeln sind binomische Formeln; deine These war, die "dritte binomische Formel" sei keine - und das ist so nicht richtig, insbesondere, da sich nicht jede beliebige binomische Formel aus "dem binomischen Lehrsatz" ableiten muss, um binomisch heißen zu können.

Aber wie nennt man dann $$\binom{n}{k}$$, wenn nicht „Binomialkoeffizient“?

Auch das ist mit meiner Argumentation nicht ausgeschlossen - der Binomialkoeffizient ist eine Entsprechung der Koeffizienten innerhalb einer binomischen Formel (nämlich der binomischen Formel, die im binomischen Lehrsatz vorkommt) und ist daher genauso berechtigt binomisch zu heißen wie eine Formel, die für ein Binom gültig ist - eben wie der binomische Lehrsatz, die ersten und zweiten binomischen Formeln und eben auch die dritte binomische Formel.

Übrigens: Den binomischen Lehrsatz als binomische Formel zu bezeichnen halte ich nicht unbedingt für korrekt - und ob die Formel, die im binomischen Lehrsatz vorkommt, dann "die binomische Formel" heißen muss, nur weil der Lehrsatz "der binomische Lehrsatz ist", darüber kann man sich wohl streiten.

Und wenn man das nun tatsächlich möchte, also die Formel aus dem binomischen Lehrsatz als "die binomische Formel" zu bezeichnen, dann ist damit nicht per se ausgeschlossen, dass es nicht auch weitere binomische Formeln geben kann.

Grüße,

RIDER