@@Gunnar Bittersmann

Sei R die Menge der rechtwinkligen Dreiecke, D die Menge der Dreiecke, in denen ein Innenwinkel doppelt so groß ist wie ein anderer, und T die Menge der Dreiecke, in denen ein Innenwinkel dreimal so groß ist wie ein anderer.

Wie wir gesehen haben, ist R ∪ D ∪ T die Menge aller Dreiecke, die sich in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen lassen.

Und wie wir später gesehen haben, ist das nicht der Fall.

Wir ändern die Aufgabe dahingehend ab, dass D die Menge der Dreiecke ist, in denen ein Innenwinkel doppelt so groß ist wie ein anderer, welcher aber nicht stumpf sein darf. (Hier lassen wir mal Matthias’ Anmerkung einfließen.)

Dann ist R ∪ D ∪ T tatsächlich die Menge aller Dreiecke, die sich in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen lassen.

Die Frage ist nun: Welche Dreiecke gehören jeweils zu den hell schraffierten Flächen, also (R ∩ D) ∖ T, (R ∩ T) ∖ D und (D ∩ T) ∖ R?

Im Folgenden werde ich der Einfachheit halber mit „Dreieck“ Klassen von Dreiecken bezeichnen, die einander ähnlich sind, also dieselben Innenwinkelgrößen haben, s.a. diese Fußnote.

(R ∩ D) ∖ T

R ∩ D sind alle rechtwinkligen Dreiecke ist, in denen ein Innenwinkel doppelt so groß ist wie ein anderer, welcher nicht stumpf sein darf. Es gibt 2 Möglichkeiten:

1. Der Innenwinkel, der doppelt so groß ist wie ein anderer, ist der rechte Winkel. Die anderen beiden Winkel sind dann jeweils ¼π = 45° groß.

2. Der Innenwinkel, der doppelt so groß ist wie ein anderer, ist nicht der rechte Winkel. Dann ergänzen sich die beiden Winkel zu ½π = 90°, ihre Größen sind also ⅙π = 30° und ⅓π = 60°. Damit ist der rechte Winkel dreimal so groß wie der kleinere der beiden anderen. Das Dreieck gehört folglich auch zu T, also zu R ∩ D ∩ T, nicht zu (R ∩ D) ∖ T.

Zu (R ∩ D) ∖ T gehört nur das gleichschenklich-rechtwinklige Dreieck.

(R ∩ T) ∖ D

R ∩ T sind alle rechtwinkligen Dreiecke ist, in denen ein Innenwinkel dreimal so groß ist wie ein anderer. Es gibt wieder 2 Möglichkeiten:

1. Der Innenwinkel, der dreimal so groß ist wie ein anderer, ist der rechte Winkel. Die anderen beiden Winkel sind dann ⅙π = 30° und ⅓π = 60° groß. Damit ist der der größere der beiden doppelt so groß wie der kleinere. Das Dreieck gehört folglich auch zu D, also zu R ∩ D ∩ T, nicht zu (R ∩ T) ∖ D.

2. Der Innenwinkel, der dreimal so groß ist wie ein anderer, ist nicht der rechte Winkel. Dann ergänzen sich die beiden Winkel zu ½π = 90°, ihre Größen sind also ⅛π = 22½° und ⅜π = 67½°.

Zu (R ∩ T) ∖ D gehört nur das letztgenannte Dreieck.

(D ∩ T) ∖ R

Bei D ∩ T sind 4 Fälle zu unterscheiden:

1. Der mittelgroße Winkel ist doppelt so groß, der größte Winkel dreimal so groß wie der kleinste. Die Winkel betragen also ϕ, 2ϕ und 3ϕ.

   Mit ϕ + 2ϕ + 3ϕ = π ergibt sich ϕ = ⅙π, 2ϕ = ⅓π, 3ϕ = ½π, das dreieck ist also rechtwinklig; es gehört auch zu R, also zu R ∩ D ∩ T, nicht zu (D ∩ T) ∖ R.

2. Der mittelgroße Winkel ist doppelt so groß wie der kleinste, der größte Winkel ist dreimal so groß wie der mittelgroße. Die Winkel betragen also ϕ, 2ϕ und 6ϕ.

   Mit ϕ + 2ϕ + 6ϕ = π ergibt sich ϕ = ⅟₉π = 20°, 2ϕ = ²⁄₉π = 40°, 6ϕ = ⅔π = 120°.

   Der Winkel, der doppelt so groß ist wie ein anderer, ist ²⁄₉π ≤ ½π. Alles gut.

3. Der mittelgroße Winkel ist dreimal so groß wie der kleinste, der größte Winkel ist doppelt so groß wie der mittelgroße. Die Winkel betragen also ϕ, 3ϕ und 6ϕ.

   Mit ϕ + 3ϕ + 6ϕ = π ergibt sich ϕ = ⅟₁₀π = 18°, 3ϕ = ³⁄₁₀π = 54°, 6ϕ = ³⁄₅π = 108°.

   Der Winkel, der doppelt so groß ist wie ein anderer, ist ³⁄₅π > ½π. Peng, das Dreieck gehört nicht zu D.

4. Der größte Winkel ist dreimal so groß wie der kleinste und doppelt so groß wie der mittelgroße. Die Winkel betragen also 2ϕ, 3ϕ und 6ϕ.

   Nachtrag: Kudos to Matthias. Ohne ihn hätte ich diesen Fall glatt übersehen.

   Mit 2ϕ + 3ϕ + 6ϕ = π ergibt sich 2ϕ = ²⁄₁₁π, 3ϕ = ³⁄₁₁π, 6ϕ = ⁶⁄₁₁π. (Das Umrechnen in Grad spare ich mir hier mal.)

   Der Winkel, der doppelt so groß ist wie ein anderer, ist ⁶⁄₁₁π > ½π. Auch dieses Dreieck gehört nicht zu D.

Zu (D ∩ T) ∖ R gehört nur das zweitgenannte Dreieck mit den Winkeln ⅟₉π = 20°, ²⁄₉π = 40°, ⅔π = 120°. (Rechtwinklig ist es ja nicht.)

LLAP 🖖