Hi!
document.getElementById("home").onmouseover != null
geht nicht (hatte ich auch sehr bezweifelt ;))
!= ist ein logischer Operator, kein Zuweisungsoperator. Das erinnert mich ein wenig an eine meiner ersten Programmzeilen vor ca. 20 Jahren. Um eine Schleife zu terminieren, hatte ich (sinngemäß) geschrieben "if i==i-1 break"; :-)
Dem onmouseover kannst Du jede gültige Skriptsequenz (quotiert) zuweisen, in Deinem Fall z.B.:
document.getElementById("home").onmouseover="zeigen('e');";
Gruß
Roland