echo $begrüßung;
update $db set
textfeld
= $_POST['neuer_text'] +textfeld
[...]
^^ geht leider nicht :(
Die MySQL-Funktion CONCAT sollte helfen.
Außerdem muss Text in '' oder "" eingefasst werden. Du platzierst den Inhalt von $_POST['neuer_text'] direkt in den SQL-Befehl.
echo "$verabschiedung $name";