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echo $begrüßung;
Daten mit Ajax zu holen ist sinniger als daten mit Ajax zu schreiben. Ohne javascript passiert nix, das kann zu Irritationen führen!
Das muss ja nicht so einseitig gemacht werden. Wie wäre es, erst mal vorzusehen, das Formular ganz normal zum Server zu schicken? Wenn Javascript aktiviert ist, fängt man das Absenden ab und ajaxt es stattdessen zum Server. Als Antwort erhält man dann die geändeten Daten, die man in die Seite einbaut, oder ohne Javascript eben eine komplette Seite.
echo "$verabschiedung $name";