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Der Martin
Gunnar Bittersmann
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Der Martin
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Gunnar Bittersmann
MudGuard
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Gunnar Bittersmann
hi!
hab ein dummes problem, da ich scheinbar nicht so recht auf x auflösen kann, sobald e hoch x vorkommt :/
z.b. wäre da das beispiel:
x^2=e^(x+1)
mein vorschlag wäre, die linke und rechte seite mit ln ^ ... umzuformen.
das müsste doch das ergeben:
ln^(x^2)=x+1
aber dadurch wurde es auch nicht einfacher...
wie komm ich bei solchen aufgaben auf x?
danke
Hi,
x^2=e^(x+1)
x^2 ergibt: +- ZweiteWurzel(x)
also löst man e^(x+1) auf mit: +- (x+1)teWurzel(e)
n-Wurzel lässt sich mit einer Potenz ausrechnen: zahl^(1/n), also 2. Wurzel: zahl^0.5
Analog für dein Problem:
(x+1)teWurzel --> e^(1/(x+1))
Ist jetzt im Grunde der gleiche Mist... Aber vielleicht kannst du dadurch irgendwas umformen...
mein vorschlag wäre, die linke und rechte seite mit ln ^ ... umzuformen.
meins ist übrigens auch nur ein Vorschlag :) Mit Logarithmus hab ich noch nie was zu tun gehabt...
Zweiter Vorschlag: Nehm dir ein Script und probier aus, für was haben wir denn den Computer :)
E7
Hallo,
bist du heute morgen etwas konfus, oder ist dein Math-Treiber noch nicht angelaufen? ;-)
x^2=e^(x+1)
x^2 ergibt: +- ZweiteWurzel(x)
Vielleicht hättest du erstmal ankündigen sollen, was du tun willst: Auf beiden Seiten die Wurzel ziehen. Und dann steht da:
x = ± sqrt(e^(x+1))
x = ± e^((x+1)/2)
Hmm. Immerhin, jetzt steht x allein auf der linken Seite, das sieht nett aus. Aber leider taucht x auf der rechten Seite nochmal auf, und dann auch noch als Exponent. Das macht die Sache wirklich nciht einfacher.
Da scheint mir der Ansatz mit dem Logarithmieren doch schlauer zu sein, selbst wenn ich den _auch nicht_ bis zum Ergebnis bringe:
x^2=e^(x+1)
Logarithmieren auf beiden Seiten ergibt
ln(x^2) = x+1
ln(x) = (x+1)/2
2 ln(x)
--------- = 1
x+1
Aber irgendwie führt das alles nicht so recht zur Lösung... :-(
Wer ist gut in Mathe? Schwerpunkt Logarithmen und Exponentialfunktionen?
Schönen Sonntag noch,
Martin
ln(x^2) = x+1
ln(x) = (x+1)/22 ln(x)
--------- = 1
x+1Aber irgendwie führt das alles nicht so recht zur Lösung... :-(
Martin,
Vor allem nicht, wenn dir durch nichtäquivalante Umformung die einzige Lösung entgeht.
Wer ist gut in Mathe?
In aller Bescheidenheit … ;-)
Schwerpunkt Logarithmen und Exponentialfunktionen?
Na das nun nicht gerade.
Live long and prosper,
Gunnar
Hi,
bist du heute morgen etwas konfus, oder ist dein Math-Treiber noch nicht angelaufen? ;-)
Sonntag Morgen - was erwartest du von mir ;)
2 ln(x)
--------- = 1
x+1Aber irgendwie führt das alles nicht so recht zur Lösung... :-(
der Ansatz sieht nicht schlecht aus, damit der Bruch 1 ergibt, muss das oben und das unten gleich sein, also haben wir:
2 ln(x) = x + 1
MMmhh... Das müsste doch machbar sein, oder?
Wer ist gut in Mathe? Schwerpunkt Logarithmen und Exponentialfunktionen?
mein einziges Gebiet in Mathe, das ich kenne und kann, ist eigentlich Algebra/Analysis... Ich kann dir gern das Krümmungsverhalten von Funktionen höheren Grades angeben, aber was in Richtung Spezialfunktionen wie sin, cos oder auch ln geht - keine Ahnung... Ich hab mir mal irgendwann privat a²+b²=c² erklären lassen, weil ich das für ein Computerprogrämmchen gebraucht hab - aber in der Schule machen wir so was nicht (zum Glück, wie ich anmerken darf - wenn ich seh, wie andere Kreise und Dreiecke malen lernen *g*).
E7
2 ln(x) = x + 1
MMmhh... Das müsste doch machbar sein, oder?
Nein, e7, ist es nicht. Wie zahlreiche Antworten in diesem Thread bereits sagten.
∀x > 0: 2 ln x < x + 1
Der minimale Abstand zwischen 2 ln x und x + 1 ergibt sich aus
d(x + 1 - 2 ln x) / dx = 1 - 2 / x = 0 bei x = 2 zu 3 - 2 ln 2 ≈ 1.6
Das ist weit von 0 entfernt.
Live long and prosper,
Gunnar
2 ln(x) = x + 1
MMmhh... Das müsste doch machbar sein, oder?
Noe...ganz einfach weil es
2 ln(|x|) = x+1
heißen muss.
Der natürliche Logarithmus ist nur für positive Werte definiert (den komplexen Logaritmus ignorieren wir hier).
In dieser Aufgabe ist dieser aber gleich x^2 weswegen man auch den Fall negativer x beachten muss wenn man die 2 rauszieht!
Es gilt ja immer x^a=|x|^a für a gerade (und 2 ist gerade)!!!
Wer keine Betragsstriche mag kann alternativ auch die Fallunterscheidung explizit hinschreiben, also
2ln(x) = x+1 für x>0 (1)
2ln(-x)= x+1 für x<0 (2)
Bei dieser Aufgabe ist ausgerechnet x=-1 auch die einzige Lösung in (2) und (1) hat einfach keine!
Um dass noch mal pädagogisch zu motivieren, bei der allseits bekannten pq-Formel (in manchen Landstrichen auch seltsamerweise auch Mitternachtsformel genannt) brauchts ja auch ein plusminus für die beiden möglichen Nullstellen eines quadratischen Polynoms!
tschö
Rolf
PS: dass dieser Spezialfall in vielen Formelsammlungen ignoriert wird wundert mich auch!
pq-Formel (in manchen Landstrichen auch seltsamerweise auch Mitternachtsformel genannt)
Rolf,
Bei uns hieß die „Lösungsformel (für quadratische Gleichungen)“.
Und die Bezeichnung macht IMHO auch viel mehr Sinn als „pq-Formel“.
In manchen Landstrichen wird auch gar nicht die Lösungsformel für die Normalform
x² + px + q = 0
gelehrt, sondern die für die allgemeine Form
ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)
[latex]x_{1/2}=\frac{b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/latex]
Live long and prosper,
Gunnar
Hallo Freunde des gehobenen Forumsgenusses,
In manchen Landstrichen wird auch gar nicht die Lösungsformel für die Normalform [...] gelehrt, sondern die für die allgemeine Form
ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)[latex]x_{1/2}=\frac{b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/latex]
Die habe ich gelernt (wobei es mir freigestellt wurde, welche ich verwende) und die heißt bei uns "abc-Formel" *g*
Gruß
Alexander Brock
Hi
Die habe ich gelernt (wobei es mir freigestellt wurde, welche ich verwende) und die heißt bei uns "abc-Formel" *g*
Waffen! ABC WAFFEN!!!
*fg*
Im Ernst: Bei mir im Fachbereich sagen alle repräsentativ herumstehenden 13 1/2 Mathematiker "pq-Formel", aber dass könnte auch an den hessischen Schulen im Umkreis der TUD liegen, ist ja schließlich auch nur Schulmathe und die wird hier eher selten thematisiert.
"pq-Formel" hat allerdings auch mehr Googlehits als "Lösungsformel" und "Mitternachtsformel" zusammen.
Pädagogische Grüße
Rolf
Hallo Rolf,
Im Ernst: Bei mir im Fachbereich sagen alle repräsentativ herumstehenden 13 1/2 Mathematiker "pq-Formel", aber dass könnte auch an den hessischen Schulen im Umkreis der TUD liegen, ist ja schließlich auch nur Schulmathe und die wird hier eher selten thematisiert.
Ich kenne aus der Schule sowohl pq-Formel (für die Formel auf die Normalform angewendet) und Mitternachtsformel. Und in der Uni habe ich die Erfahrung gemacht, dass die Formel zu »trivial« ist, um der überhaupt großartig einen Namen zu geben - man wendet sie einfach an. ;-)
Viele Grüße,
Christian
Hi
Und in der Uni habe ich die Erfahrung gemacht, dass die Formel zu »trivial« ist, um der überhaupt großartig einen Namen zu geben - man wendet sie einfach an. ;-)
Meine Rede! Ich kenne aber Leute ...vorwiegend aus dem Schwäbischen
die mit pq-Formel nix anfangen können, deswegen sag ich Miternachtsblabla mal lieber dazu, weischt!?!
LG
Rolf
Hallo.
Ich kenne aber Leute ...vorwiegend aus dem Schwäbischen
die mit pq-Formel nix anfangen können, deswegen sag ich Miternachtsblabla mal lieber dazu, weischt!?!
Manchmal verstehen sie "be-gu-Formel" besser.
MfG, at
Hallo at,
Ich kenne aber Leute ...vorwiegend aus dem Schwäbischen
die mit pq-Formel nix anfangen können, deswegen sag ich Miternachtsblabla mal lieber dazu, weischt!?!Manchmal verstehen sie "be-gu-Formel" besser.
nein, das sind die Sachsen.
Die Schwaben haben im Gegensatz zu denen kein Problem mit harten Konsonanten (okay, es gibt Grenzfälle, "basst scho"). Dafür tun sie sich schwer mit dem phonetischen Unterschied zwischen 'ä' und 'e', und ein stimmhaftes 's' kennen sie auch nicht.
Ich lebe schließlich seit über 30 Jahren im Großraum Stuttgart. ;-)
Ciao,
Martin
PS: Ich hab die Lösungsformel für ax² + bx + c = 0 in der Schule zwar auch als "Mitternachtsformel" gelernt, weiß aber auch nicht, wo der Ausdruck herkommt.
Hallo.
nein, das sind die Sachsen.
Verzeihung, ich wollte niemandem in seiner regionalen Identität zu nahe treten.
PS: Ich hab die Lösungsformel für ax² + bx + c = 0 in der Schule zwar auch als "Mitternachtsformel" gelernt, weiß aber auch nicht, wo der Ausdruck herkommt.
Vielleicht von der geistigen Umnachtung, die dazu führt, dass bisher niemand diese Frage beantworten konnte.
MfG, at
Hallo Martin,
PS: Ich hab die Lösungsformel für ax² + bx + c = 0 in der Schule zwar auch als "Mitternachtsformel" gelernt, weiß aber auch nicht, wo der Ausdruck herkommt.
Meine Mathelehrerin hat gemeint, die Mitternachtsformel hieße so, weil wir sie wie aus der Pistole geschossen aufsagen können müssen, wenn sie mal um Mitternacht vor unserer Tür steht. Allerdings zweifle ich irgendwie an der Ernsthaftigkeit der Bemerkung. ;-)
Viele Grüße,
Christian
Hallo Christian,
Meine Mathelehrerin hat gemeint, die Mitternachtsformel hieße so, weil wir sie wie aus der Pistole geschossen aufsagen können müssen, wenn sie mal um Mitternacht vor unserer Tür steht.
Hey, das ist doch wenigstens mal ein Erklärungsansatz!
Allerdings zweifle ich irgendwie an der Ernsthaftigkeit der Bemerkung. ;-)
Naja, sei mal nicht so anspruchsvoll. Es gibt nun wirklich schlimmere Wege, die armen Schüler für dumm zu verkaufen. Ich erinnere mich noch heute an meine Lehrerin in der ersten Klasse, die mit uns ihr letztes Jahr vor der Rente zubrachte (und ja, ein wenig senil war sie wirklich schon). Die Gute hat uns Erstklässlern doch tatsächlich mal erklärt, wie ein Gewitter zustandekommt. Das geht nämlich so (bitte festhalten):
"Ihr habt doch bestimmt auch schon gemerkt, dass der Himmel bei einem Gewitter voller Wolken ist. Aber oben über den Wolken, da scheint immer noch die Sonne, und sie versucht mit aller Kraft, durch die Wolken zu dringen. Wenn es dann endlich ein Sonnenstrahl schafft, durch ein Loch in den Wolken zu kommen, dann sehen wir das als Blitz. Und der Donner, das ist wenn die Wolken dann wieder zusammenkrachen, um das Loch zu schließen."
Meine Güte, und das erzählt die Alte den Sechs- bis Siebenjährigen! Für die ist der Lehrer/die Lehrerin doch noch sowas wie Gott. Was der Lehrer sagt, das muss ja stimmen!
Zum Glück habe ich irgendwann später auch gelernt, wie ein Gewitter _wirklich_ entsteht. ;-)
Schönen Abend noch,
Martin
Alexander,
[latex]x_{1/2}=\frac{b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/latex]
Die habe ich gelernt
Schlechter Mathelehrer! ;-) Wie [MudGuard] schon berichtigte, fehlte ein Minus.
Live long and prosper,
Gunnar
Hi,
[latex]ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0)[/latex]
[latex]x_{1/2}=\frac{b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/latex]
Was auch immer diese Formel beschreibt - die Nullstellen der gegebenen Gleichung sind es nicht.
Da fehlt ein Minus:
[latex]x_{1/2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/latex]
cu,
Andreas
Hallo.
dass dieser Spezialfall in vielen Formelsammlungen ignoriert wird wundert mich auch!
Da geht es ihm wie dem Komma in dieser Wortsammlung.
MfG, at
hab ein dummes problem, da ich scheinbar nicht so recht auf x auflösen kann, sobald e hoch x vorkommt :/
steffi,
IIRC lassen sich solche Gleichungen im Allgemeinen nicht analytisch lösen, sondern nur Näherungslösungen finden.
x^2=e^(x+1)
Das sieht schon anders aus. Zeichne dochmal die Graphen von [latex]f(x)=x^2[/latex] und [latex]g(x)=e^{x+1}[/latex] (das ist [latex]e^x[/latex] um 1 nach links verschoben), dann springt dich der Schnittpunkt an.
Dass es keinen weiteren (d.h. eine weitere Lösung) gibt, ist klar, weil [latex]e^x[/latex] sehr viel schneller ansteigt als [latex]x^2[/latex].
Live long and prosper,
Gunnar
Hallo Freunde des gehobenen Forumsgenusses,
[latex]x^2=e^{(x+1)}[/latex]
[latex]\ln{x^2}=x+1[/latex]
[latex]2*\ln{x}=x+1[/latex]
[latex]\ln{x}={x \over 2}+{1 \over 2}[/latex]
[latex]\ln{x}-{x \over 2}={1 \over 2}[/latex]
Weiter komme ich im Moment auch nicht,
das sollte aber lösbar sein.
Gruß
Alexander Brock
das sollte aber lösbar sein.
Nein, Alexander, das ist es nicht.
Die Lösung von [latex]x^2=e^{(x+1)}[/latex] ist schon nicht mehr Lösung von [latex]\ln{x}-{x \over 2}={1 \over 2}[/latex].
Du hast nichtäquivalent umgeformt.
Live long and prosper,
Gunnar
HI
Die Lösung von [latex]x^2=e^{(x+1)}[/latex] ist schon nicht mehr Lösung von [latex]\ln{x}-{x \over 2}={1 \over 2}[/latex].
Du hast nichtäquivalent umgeformt.
Dieser Fehler hat aber leider System. Interessanterweise habe ich die [latex]\ln{x^a}=a*ln{x }[/latex] so ohne Eingeschränkung auf positive x bereits in 2 Formelsammlungen für Schulen als auch bei Wikipedia gefunden!
m.E. sollte es am besten so formuliert werden
[latex]\ln{x^a}=a*ln{|x |}[/latex] für [latex]x^a >0[/latex]
Leider hab ich meinen DTV-Atlas verlegt und mit dem Bronstein komme ich mal wieder nicht zum Ziel...
Tschau
Rolf
Hallo steffi,
Ich habe auch lange überlegt und kann Dir leider auch nicht sagen, ob es stimmt (ich denke mal eher nicht)
x^2 = e(x+1)
das zerlege ich (und das ist bereits falsch - siehe unten)
x^2 = 0
e(x+1) = 0
für die 1. Gleichung kommt nicht viel raus. Aber bei der zweiten:
e(x+1) = e(x) * e(1) = 0
e(x) = 1/e(1) (nun der ln von beiden Seiten)
x = -1 (das muss ja auch raus kommen)
Das Ergebnis müsste auch in der 1. Gleichung passen, tut es aber nciht mehr, da es nicht Null ist. Die 1. Überlegung von mir, die Gleichungen "einfach" Null zu setzen kann somit nicht korrekt sein. Ob die Lsöung, die dann auskommt, nur zufällig richtig ist, kann ich auch nicht sagen.
Vll hilft es Dir oder einem anderen aber weiter...
Mit freundlichem Gruß
Micha
Hallo Micha,
x^2 = e(x+1)
das zerlege ich (und das ist bereits falsch - siehe unten)
x^2 = 0
e(x+1) = 0
Ähm, Aua. ;-) Wenn Du das gleich Null setzt, beschränkst Du die Lösungsmenge dramatisch. Du willst ja wissen, wann [latex]x^2 = e^{x+1}[/latex] ist, welchen Wert [latex]x^2[/latex] oder [latex]e^{x+1}[/latex] dabei annehmen, ist ja vorrangig egal.
Ferner: Wenn Du die erste Gleichung [latex]x^2 = 0[/latex] gleichNull setzt, dann erhälst Du x = 0, die Zweite Gleichung [latex]e^{x+1} = 0[/latex] hat weder in [latex]\mathbb{R}[/latex] noch in [latex]\mathbb{C}[/latex] eine Lösung (e-Fkt ist nie Null).
für die 1. Gleichung kommt nicht viel raus. Aber bei der zweiten:
e(x+1) = e(x) * e(1) = 0
e(x) = 1/e(1) (nun der ln von beiden Seiten)
Autsch. ;-) Wenn [latex]e^{x+1} = 1[/latex] da stehen würde, hättest Du richtig gerechnet, da da aber [latex]e^{x+1} = 0[/latex] steht, kannst Du höchstens ein [latex]e^x = 0[/latex] draus machen, und das hat keine Lösung (in [latex]\mathbb{R}[/latex] oder [latex]\mathbb{C}[/latex]).
Viele Grüße,
Christian
Hallo Christian Seiler,
stimmt, ich sollte aufhören drüber nachtzudenken - zuviel "Aua" in einem Posting :)
Mit freundlichem Gruß
Micha
Hallo,
Ich habe meinen Vater mal gefragt, der meinte sofort, das es für solche Probleme keine "rechnerische" Lösung gibt. Wie Gunnar schon gesagt hatte, muss es ein Näherungsverfahren sein (oder probieren, zeichnen usw.)
Mit dem NEWTON-Verfahren sollte man jedoch recht schnell iterativ hinkommen:
x2 = x1 - f(x1)/f'(x1)
Mit freundlichem Gruß
Micha
Wie Gunnar schon gesagt hatte, muss es ein Näherungsverfahren sein (oder probieren, zeichnen usw.)
Mit dem NEWTON-Verfahren sollte man jedoch recht schnell iterativ hinkommen:
Micha,
Wie Gunnar schon gesagt hatte, ist ein Näherungsverfahren in diesem Fall völlig überflüssig.
Live long and prosper,
Gunnar
Hallo,
z.b. wäre da das beispiel:
x^2=e^(x+1)
Hier mal eine grafische Loesung mit SVG [Rasterbild].
Darstellbar mit IE+ASV, nativ mit FF 1.5 sowie Opera 8.x / 9.0 TP1. Bei Opera 8.x fehlen die Gitterlinien, da die CSS-Regeln bei einer SVG-Tiny-Implementierung nicht interpretiert werden.
MfG, Thomas
