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echo $begrüßung;
In der 2.Datei mache ich als erstes folgendes: "$var=$_POST[var];".
Warum machst du das? Da scheint mir überflüssig.
UPDATE user SET pkt='".$_POST["pkt"]."' WHERE var = '".$_POST["var"]."'
Zumal du ja hier sowieso direkt auf die $_POST-Elemente zugreifst. *)
Test's haben ergeben, dass die Variable $var kein Wert übergibt, außer den 18.Datensatz.
Was kann ich machen, damit ich alle 18 Daten updaten kann?
Gib deinen Input-Feldern nicht immer den gleichen Namen, denn sonst überschreibt PHP immer wieder den Eintrag in $_GET/$_POST. Eckige Klammern [] erzeugen ein Array-Element statt eines einfachen Strings. Man kann auch was in die Klammern einfügen, das dann als Wert des Keys genommen wird. Ansonsten wird fortlaufend durchnummeriert.
*) Zusatzfrage: Was passiert, wenn der Inhalt von $_POST["var"] ein ' drin hat?
echo "$verabschiedung $name";