echo $begrüßung;
var lgname = document.getElementById("name").value;
var lgpw = document.getElementById("pw").value;
/*Zeile7*/ http.send("name=" + lgname + "&passwort=" + lgpw);
POST
[name] => undefined
[passwort] => undefined
Die AJAX-Übertragung funktioniert soweit. Was nicht funktioniert ist der Zugriff auf document.getElementById("name") und document.getElementById("pw"), weswegen du den String "undefined" geliefert bekommst, den du dann in lgname und lgpw ablegst und verAJAXt.
Um zu ermitteln, warum der Zugriff nicht funktioniert, kann dir die Javascript-Konsole helfen.
echo "$verabschiedung $name";