3.wurzel aus ieiner negativen Zahl

[Gunnar Bittersmann]

Hello out there!

Widersprüche würden sich dadurch nicht ergeben.

Wären gebrochene Potenzen von nichtnegativen Zahlen (Wurzeln aus nichtnegativen Zahlen) in ℝ definiert, hätte man großen Ärger bei der Erweiterung auf komplexe Zahlen, denn in ℂ sollen ja die Regeln für reelle Zahlen weiterhin gültig sein.

latex^{\frac{1}{3}}[/latex] ist aber nicht [latex]-1[/latex]! Sondern die Lösung der Gleichung [latex]x^3 = -1[/latex] mit dem kleinsten Argument:

latex^{\frac{1}{3}} = \left( \mathrm{e}^{\mathrm{i} \pi} \right)^{\frac{1}{3}} = \mathrm{e}^{\mathrm{i} \frac{1}{3} \pi} = \frac{1}{2} + \mathrm{i} \frac{1}{2} \sqrt{3}[/latex]

Es wäre unsinnig, in ℝ latex^{\frac{1}{3}} = -1[/latex] gelten zu lassen, während in ℂ etwas anderes gilt.

See ya up the road,
Gunnar