Hallo,
Probleme mit Umlauten (ä,ö,ü) hängen fast immer mit verschiedenen Zeichensätzen (meist ISO-8859-1 und UTF-8) zusammen. Wie ist das Encoding des Dokumentes, aus dem du schickst, und wie das des Empfängerdokumentes ?
Setzt' doch spaßeshalber mal im Empfängerdokument ein
echo $_POST['Suchbegriff'];
ein und schau was herauskommt.
Evtl. hilft auch ein
mysql_query('SET NAMES 'utf8'');
bzw.
mysql_query('SET NAMES 'latin1'');
vor dem eigentlichen Such-Query.
P.S.: Niemals Daten aus Eingabefeldern direkt so in einen SQL-String stecken, sondern vorher mit mysql_real_escape_string() escapen, also z.B. mysql_real_escape_string($_POST['Suchbegriff']) (Stichwort Fehler und SQL-Injections).