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echo $begrüßung;
Es kann in einer Tabelle nur ein auto_increment-Feld geben. mysql(i)_insert_id() liefert den Wert genau dieses Feldes. Dessen Name ist unerheblich.
Das funktioniert sicher aber nur _genau_ _nach_ dem Insert über die Connection.
Ich habe den Eindruck, dass Thomas diese ID aber vorher haben will.
Dann ist vermutlich das Konzept falsch.
Wenn das so wäre, könnte man beispielsweise die aus Oracle bekannten Sequenzen nachbilden. Eine Beispiel-Implementation für MySQL findet sich in den MySQL-Treibern der PEAR-Pakete DB und MDB2. (Letzterer bietet auch ein currID() an, aber das hat ein Nebenläufigkeitsproblem, wenn man nicht zusätzlich noch für Table-Locking sorgt.)
echo "$verabschiedung $name";