echo $begrüßung;
Keine deiner Fragen wurden nicht mit der verlinkten Handbuchseite beantwortet.
Funktioniert das pro Verbindung, also so ähnlich, wie last_insert_id()?
Natürlich. Werte anderer Verbindungen wären unsinnig.
Ein neues Select würde das Ergebnis zerstören?
Oder nur ein Select, das SQL_CALC_FOUND_ROWS enthält?
FOUND_ROWS() liefert immer die Anzahl der Datensätze des vorangegangenen erfolgreichen SELECT-Statements. Wenn dies SQL_CALC_FOUND_ROWS und LIMIT enthält dann die der unlimitierten.
echo "$verabschiedung $name";