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Mathe: Integralrechnung
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Gunnar Bittersmann
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Mathe: Integralrechnung
Hallo zusammen,
ich habe am WE eine Prüfung geschrieben und bin über folgendes Integral gestolpert. Mich würde allerdings brennend die Lösung interessieren. Vielleicht kann mir jemand von Euch helfen.
Es gilt die Stammfuntkion von (x-c)/(x+1) zu finden.
Ich könnte partiell integrieren, aber leider habe ich nirgendwo gefunden, wie man 1/x integriert (geht das überhaupt), denn x^(-1) integriert wäre -x^0, also -1 und das geht ja so eher nicht.
Ich klemme irgendwie am Ansatz. das Schlimmste daran ist, dass ich vermute, dass es total popelig leicht sein wird. :(
ciao
romy
PS: der Rest der Prüfung war echt human, k.A. warum ich hier so im Regen stehe.
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@@romy:
nuqneH
aber leider habe ich nirgendwo gefunden, wie man 1/x integriert (geht das überhaupt)
Klar geht das (für x > 0).
[latex]\int \frac{1}{x} , \mathrm dx = \ln x + c[/latex]
Qapla'
--
Alle Menschen sind klug. Die einen vorher, die anderen nachher. (John Steinbeck)-
Hallo Gunnar,
Klar geht das (für x > 0).
[latex]\int \frac{1}{x} , \mathrm dx = \ln x + c[/latex]*Argl* Hier ist das Brett, was ich vorm Kopf hatte. Ich war irgendwie davon ausgegangen, dass dies die Ableitungsregel sei. Damit konnte ich es lösen.
Danke!ciao
romy
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Moin.
Es gilt
[latex]\frac{x-c}{x+1}\bold{d}x = \left(\frac{x+1}{x+1}-\frac{c+1}{x+1}\right)\bold{d}x[/latex]
[latex]= \bold{d}x - (c+1)\frac{1}{x+1}\bold{d}(x+1)[/latex]
[latex]= \bold{d}x - (c+1)\bold{d}\ln{|x+1|}[/latex]
und damit
[latex]\int_a^b \frac{x-c}{x+1}\bold{d}x = b-a - (c+1)(\ln{|b+1|}-\ln{|a+1|})[/latex]Christoph
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Hallo Christoph,
Es gilt
[latex]\frac{x-c}{x+1}\bold{d}x = \left(\frac{x+1}{x+1}-\frac{c+1}{x+1}\right)\bold{d}x[/latex]Ich verstehe schon die erste Zeile nicht. Wie kommst du von von der linken auf die rechte Seite?
Danke!ciao
romy-
@@romy:
nuqneH
[latex]\frac{x-c}{x+1}\bold{d}x = \left(\frac{x+1}{x+1}-\frac{c+1}{x+1}\right)\bold{d}x[/latex]
Ich verstehe schon die erste Zeile nicht. Wie kommst du von von der linken auf die rechte Seite?x - c = x + 1 - c - 1 = (x + 1) - (c + 1)
Qapla'
--
Alle Menschen sind klug. Die einen vorher, die anderen nachher. (John Steinbeck) -
Moin.
Ich verstehe schon die erste Zeile nicht. Wie kommst du von von der linken auf die rechte Seite?
Wie man den Bruch aufspaltet, hat Gunnar ja bereits erklärt.
Ansonsten zur Schreibweise: Das [latex]\bold d[/latex] bezeichnet die äußere Ableitung (für Funktionen einfach das Differential), allerdings brauchst du hier den ganzen Rattenschwanz an Theorie nicht.
Alles, was du wissen musst:
[latex]\bold{d}f(x) = f'(x)\bold{d}x[/latex]
[latex]\int_a^b\bold{d}f(x) = f(b)-f(a)[/latex]Damit hat man eine nette Möglichkeit, die Substitutionsregel zu formulieren:
[latex]\int_a^bf'(x)\bold{d}x=\int_a^b\bold{d}f(x)=f(b)-f(a)[/latex]
Christoph
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Moin.
Damit hat man eine nette Möglichkeit, die Substitutionsregel zu formulieren [...]
Für die Substitutionsregel fehlt da noch eine äußere Funktion:
Sie [latex]\Phi[/latex] Stammfunktion von [latex]\varphi[/latex], d.h. [latex]\Phi'(x)=\varphi(x)[/latex]
Dann folgt nach Kettenregel
[latex]\bold{d}\Phi(f(x))=\left(\Phi(f(x))\right)'\bold{d}x[/latex]
[latex]=\Phi'(f(x))f'(x)\bold{d}x[/latex]
[latex]=\varphi(f(x))f'(x)\bold{d}x[/latex]udn damit
[latex]\int_a^b\varphi(f(x))f'(x)\bold{d}x = \int_a^b\bold{d}\Phi(f(x))=\Phi(f(b))-\Phi(f(a))[/latex]
Chistoph
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Moib.
Damit hat man eine nette Möglichkeit, die Substitutionsregel zu formulieren:
[latex]\int_a^bf'(x)\bold{d}x=\int_a^b\bold{d}f(x)=f(b)-f(a)[/latex]
Das ist natürlich nicht die Substitutionsregel, sondern eine Folgerung aus dem Hauptsatz der Diffferential- und Integralrechnung.
Christoph
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Hallo romy,
ich habe am WE eine Prüfung geschrieben und bin über folgendes Integral gestolpert. Mich würde allerdings brennend die Lösung interessieren. Vielleicht kann mir jemand von Euch helfen.
Es gilt die Stammfuntkion von (x-c)/(x+1) zu finden.
Wenn es brennt, dann mal Wolfram|Alpha befragen.
Grüße,
Thomas -