Was mache ich falsch?
Z.b. das hier - das ist Unsinn.
header('Content-Type: application/' . $datei['Endung']);
Der MIME-Type hat nicht viel mit der Dateiendung zu tun.
application/pdf mag zwar zutreffen - aber das ist Zufall. Je nach PDF-Format sind z.B. auch application/x-pdf oder application/x-gzpdf zulässig.