Hallo JohnnyHatEinProblem,
... beide Begriffe unbekannt ...
dann solltest du das ändern.
Die Modulo-Division (%) ermittelt bei einer Division von ganzen Zahlen den Rest:
5 % 3
ergibt 2, 2 % 3
ergibt ebenfalls 2 und 12 % 12
ergibt 0.
document.getElementById("date1-3").innerText = months[(month + 1) % months.length];
sollte dein Problem lösen.
Gruß, Jürgen