Hallo,
die WebDatabase-Funktionalität wird vom Firefox nicht unterstützt, stattdessen ist dort das IndexedDB-Modell implementiert.
Je nach Beschaffenheit der Daten könntest Du auch auf localStorage ausweichen, welches meines Wissens nach von allen Browser-Applikationen unterstützt wird.
Siehe auch:
Weitere Informationen findest Du ggf. im Artikel "heise Developer: Offlinefähige und mobile Webanwendungen mit HTML5 und JavaScript-APIs", auf die Problematik bzgl. unterschiedlicher Implementierungen wird auf Seite 4, "Offlinefähigkeit von Anwendungen", eingegangen. Auch wird dort das Storage-Abstraktions-Layer "lawnchair" erwähnt.
Gruss,
Worf