Mathematik zum Wochenende
bearbeitet von Gunnar Bittersmann@@Matthias Apsel
> gegeben ist ein Trapez _ABCD_ mit _a_ \|\| _p_ \|\| _q_ \|\| _c_, d(_a_, _p_) = d(_p_, _q_) = h/3
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> ![Alternativ-Text](/images/9a47c2af-a8d8-4ac3-9879-519e2601f4d9.png)
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> a) Berechne die Längen von _p_ und _q_ für _a_=7, _c_=5, _h_=6 und _⍺_=90°.
> b) Zeige, dass die Längen von _p_ und _q_ unabhängig von _⍺_ sind.
> c) Berechne die Längen von _p_ und _q_ für beliebiges _a_, _c_, _h_.
Wo das Wochenende nun vorbei ist, stelle ich mal meine Lösung vor:
Lege ein Koordinatensystem so, dass _A_ in _O_ liegt und _a_ auf der positiven Seite der _x_-Achse.
(Die richtige Lage des Koordinatensystems ist das _A_ und _O_ bei der Lösung einer Aufgabe. ;-))
**b)** Die Änderung des Winkels *⍺* ist eine Scherung *x*ʹ = *x* + *m* *y*, *y*ʹ = *y*.
Der Abstand zweier Punkte (*x*₁ʹ, *y*ʹ) und (*x*₂ʹ, *y*ʹ) auf einer horizontalen Linie ist
*x*₂ʹ − *x*₁ʹ = *x*₂ + *m* *y* − *x*₁ − *m* *y* = *x*₂ − *x*₁,
also von *m*, d.h. auch von *⍺* unabhängig.
Da *a*, *c*, *p* und *q* horizontale Linien sind, sind *p* und *q* unabhängig von *⍺*.
**c)** O.B.d.A. kann also davon ausgegangen werden, dass *⍺* rechtwinklig ist. *D*(0, *h*) liegt auf der *y*-Achse; die beiden anderen Eckpunkte haben die Koordinaten *B*(*a*, 0) und *C*(*c*, *h*).
Die Endpunkte von *p* und *q* seien *P*₁, *P*₂, *Q*₁, *Q*₂. Deren Koordinaten sind *P*₁(⅓*c*, ⅓*h*), *P*₂(⅔*a*, ⅓*h*), *Q*₁(⅓*a*, ⅔*h*), *Q*₂(⅔*c*, ⅔*h*).
Daraus ergibt sich *p* = \|⅔*a* − ⅓*c*\|, *q* = \|⅔*c* − ⅓*a*\|.
Anmerkung: Je nach Verhältnis von *a* : *c* können *p* und *q* auch auf derselben Seite des Schnittpunkts der Diagonalen liegen. Damit deren Werte nichtnegativ sind, die Absolutbeträge der Differenzen.
**a)** Ist mir jetzt zu blöd. ;-)
LLAP 🖖
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_„Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen.“_ —Johann Wolfgang von Goethe