Mathematik zum Wochenende
bearbeitet von ottogal**Meine Lösung**
Der Diagonalenschnittpunkt des Trapezes heiße S.
Die Trapezhöhe durch S sei EF (E auf AB, F auf CD).
Die Endpunkte von p seien G und H, der Schnittpunkt von GH mit EF heiße K.
Die Endpunkte von q seien Q und P, der Schnittpunkt von QP mit EF heiße R.
**Beweis von c):**
Sämtliche im Folgenden verwendeten Verhältnis-Gleichheiten folgen aus den Strahlensätzen mit dem Zentrum S. Zur Abkürzung bezeichnen wir das Verhältnis c/a mit k.
Man erhält:
SF/SE = SC/SA = c/a = k
SF = k*SE
SE*(1+k) = h
SE = h/(1+k)
SK = SE - h/3 = h*(1/(1+k) - 1/3)
SK = h*(2-k) / 3*(1+k)
p/a = SG/SA = SK/SE = SK*(1/SE) = ((2-k) / 3*(1+k)) * (1+k)
p = a*(2-k)/3
Mit k = c/a wird daraus
**p = (2*a - c)/3**
Aus SF = k*SE folgt weiter:
SF= h*k/(1+k)
SR = SF - RF = h*( k/(1+k) - 1/3 )
SR = h*(2*k-1) / 3*(1+k)
q/c = PQ/CD = SP/SC = SR/SF = (2*k-1)/3*(1+k) / (1+k)/k = (2*k-1) / 3*k
q = c*(2*k-1) / 3*k = c*(2-1/k)/3
Mit 1/k = a/c wird daraus q = c*(2-a/c)/3, also
**q = (2*c-a)/3**
**Zu a):**
Aus den gegebenen Daten erhält man mit den gefundenen Formeln p = 3 und q = 1.
**Zu b):**
Alle im obigen Beweis verwendeten Verhältnis-Gleichheiten gelten unabhängig vom Winkel ⍺.
Mathematik zum Wochenende
bearbeitet von ottogal**Meine Lösung**
Der Diagonalenschnittpunkt des Trapezes heiße S.
Die Trapezhöhe durch S sei EF (E auf AB, F auf CD).
Die Endpunkte von p seien G und H, der Schnittpunkt von GH mit EF heiße K.
Die Endpunkte von q seien Q und P, der Schnittpunkt von QP mit EF heiße R.
**Beweis von c):**
Sämtliche im Folgenden verwendeten Verhältnis-Gleichheiten folgen aus den Strahlensätzen mit dem Zentrum S. Zur Abkürzung bezeichnen wir das Verhältnis c/a mit k.
Man erhält:
SF/SE = SC/SA = c/a = k
SF = k*SE
SE*(1+k) = h
SE = h/(1+k)
SK = SE - h/3 = h*(1/(1+k) - 1/3)
SK = h*(2-k) / 3*(1+k)
p/a = SG/SA = SK/SE = SK*(1/SE) = ((2-k) / 3*(1+k)) * (1+k)
p = a*(2-k)/3
Mit k = c/a wird daraus
**p = (2*a - c)/3**
Aus SF = k*SE folgt weiter:
SF= h*k/(1+k)
SR = SF - RF = h*( k/(1+k) - 1/3 )
SR = h*(2*k-1) / 3*(1+k)
q/c = PQ/CD = SP/SC = SR/SF = (2*k-1)/3*(1+k) / (1+k)/k = (2*k-1) / 3*k
q = c*(2*k-1) / 3*k = c*(2-1/k)/3
Mit 1/k = a/c wird daraus q = c*(2-a/c)/3, also
**q = (2*c-a)/3**
**Zu a):**
Aus den gegebenen Daten erhält man mit den gefundenen Formeln p = 3 und q = 1.
**Zu b):**
Alle im obigen Beweis verwendeten Verhältnis-Gleichheiten gelten unabhängig vom Winkel ⍺.
Mathematik zum Wochenende
bearbeitet von ottogal**Meine Lösung**
Der Diagonalenschnittpunkt des Trapezes heiße S.
Die Trapezhöhe durch S sei EF (E auf AB, F auf CD).
Die Endpunkte von p seien G und H, der Schnittpunkt von GH mit EF heiße K.
Die Endpunkte von q seien Q und P, der Schnittpunkt von QP mit EF heiße R.
**Beweis von c):**
Sämtliche im Folgenden verwendeten Verhältnis-Gleichheiten folgen aus den Strahlensätzen mit dem Zentrum S. Zur Abkürzung bezeichnen wir das Verhältnis c/a mit k.
Man erhält:
SF/SE = SC/SA = c/a = k
SF = k*SE
SE*(1+k) = h
SE = h/(1+k)
SK = SE - h/3 = h*(1/(1+k) - 1/3)
SK = h*(2-k) / 3*(1+k)
p/a = SG/SA = SK/SE = SK*(1/SE) = ((2-k) / 3*(1+k)) * (1+k)
p = a*(2-k)/3
Mit k = c/a wird daraus **p = (2*a - c)/3**
Aus SF = k*SE folgt weiter:
SF= h*k/(1+k)
SR = SF - RF = h*( k/(1+k) - 1/3 )
SR = h*(2*k-1) / 3*(1+k)
q/c = PQ/CD = SP/SC = SR/SF = (2*k-1)/3*(1+k) / (1+k)/k = (2*k-1) / 3*k
q = c*(2*k-1) / 3*k = c*(2-1/k)/3
Mit 1/k = a/c wird daraus q = c*(2-a/c)/3, also
**q = (2*c-a)/3**
**Zu a):**
Aus den gegebenen Daten erhält man mit den gefundenen Formeln p = 3 und q = 1.
**Zu b):**
Alle im obigen Beweis verwendeten Verhältnis-Gleichheiten gelten unabhängig vom Winkel ⍺.
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Der Diagonalenschnittpunkt des Trapezes heiße S.
Die Trapezhöhe durch S sei EF (E auf AB, F auf CD).
Die Endpunkte von p seien G und H, der Schnittpunkt von GH mit EF heiße K.
Die Endpunkte von q seien Q und P, der Schnittpunkt von QP mit EF heiße R.
**Beweis von c):**
Sämtliche im Folgenden verwendeten Verhältnis-Gleichheiten folgen aus den Strahlensätzen mit dem Zentrum S. Zur Abkürzung bezeichnen wir das Verhältnis c/a mit k.
Man erhält:
SF/SE = SC/SA = c/a = k
SF = k*SE
SE*(1+k) = h
SE = h/(1+k)
SK = SE - h/3 = h*(1/(1+k) - 1/3)
SK = h*(2-k) / 3*(1+k)
p/a = SG/SA = SK/SE = SK*(1/SE) = ((2-k) / 3*(1+k)) * (1+k)
p = a*(2-k)/3
Mit k = c/a wird daraus **p = (2*a - c)/3**
Aus SF = k*SE folgt weiter:
SF= h*k/(1+k)
SR = SF - RF = h*( k/(1+k) - 1/3 )
SR = h*(2*k-1) / 3*(1+k)
q/b = PQ/CD = SP/SC = SR/SF = (2*k-1)/3*(1+k) / (1+k)/k = (2*k-1) / 3*k
q = (2*k-1)/3*k = (2-1/k)/3
Mit 1/k = a/c wird daraus
**q = (2-a/c)/3**
**Zu a):**
Aus den gegebenen Daten erhält man mit den gefundenen Formeln p = 3 und q = 1.
**Zu b):**
Alle im obigen Beweis verwendeten Verhältnis-Gleichheiten gelten unabhängig vom Winkel ⍺.