@@Gunnar Bittersmann > > Ein Eckpunkt des Quadrates teilt die Hypotenuse in die Abschnitte[^1] _u_ und _v_. > > > > Man zeige, dass gilt: > > > > $$q^2 = \frac{\left( uv\right) ^2}{u^2+v^2}$$ > > Jetzt sitz ich schon 5 Minuten an der Aufgabe und hab’s immer noch nicht. Ich brauch erstmal eine Pause von der Frühstückspause. Jetzt aber Schluss mit Pause! Wir erinnern uns: $$q = \frac{ab}{a + b}$$ Pythagoras rausgekramt: $$\begin{align} u^2 & = \left( a - q \right)^2 +q^2\\ & = a^2 - 2aq + 2q^2\\ & = a^2 - 2a \frac{ab}{a+b} + 2 \frac{a^2 b^2}{\left( a + b \right)^2}\\ & = \frac{a^2 \left( a + b \right)^2}{\left( a + b \right)^2} - \frac{2a^2b \left( a + b \right)}{\left( a + b \right)^2} + \frac{2a^2b^2}{\left( a + b \right)^2}\\ & = \frac{a^4 + 2a^3b + a^2b^2 - 2a^3b - 2a^2b^2 + 2a^2b^2}{\left( a + b \right)^2}\\ & = \frac{a^4 + a^2b^2}{\left( a + b \right)^2}\\ & = \frac{a^2 \left(a^2 + b^2 \right)}{\left( a + b \right)^2} \end{align}$$ Analog: $$v^2 = \frac{b^2 \left( a^2 + b^2 \right)}{\left( a + b \right)^2}$$ Mit $$\begin{align}u^2 + v^2 & = \frac{\left( a^2 + b^2 \right) \left( a^2 + b^2 \right)}{\left( a + b \right)^2}\\ & = \frac{\left( a^2 + b^2 \right)^2}{\left( a + b \right)^2} \end{align}$$ ergibt sich $$\begin{align}\frac{u^2v^2}{u^2 + v^2} & = \frac{a^2b^2 \left( a^2 + b^2 \right)^2}{\left( a + b \right)^4} \cdot \frac{\left( a + b \right)^2}{\left( a^2 + b^2 \right)^2}\\ & = \frac{a^2b^2}{\left( a + b \right)^2}\\ & = q^2 \end{align}$$ Jetzt sagt nicht, dass das auch einfacher ohne ellenlange Rechung geht! LLAP 🖖 -- _“I love to go to JS conferences to speak about how to avoid using JavaScript. Please learn CSS & HTML to reduce your JS code bloat.”_{: lang="en"} —Estelle Weyl

@@Gunnar Bittersmann > > Ein Eckpunkt des Quadrates teilt die Hypothenuse in die Abschnitte[^1] _u_ und _v_. > > > > Man zeige, dass gilt: > > > > $$q^2 = \frac{\left( uv\right) ^2}{u^2+v^2}$$ > > Jetzt sitz ich schon 5 Minuten an der Aufgabe und hab’s immer noch nicht. Ich brauch erstmal eine Pause von der Frühstückspause. Jetzt aber Schluss mit Pause! Wir erinnern uns: $$q = \frac{ab}{a + b}$$ Pythagoras rausgekramt: $$\begin{align} u^2 & = \left( a - q \right)^2 +q^2\\ & = a^2 - 2aq + 2q^2\\ & = a^2 - 2a \frac{ab}{a+b} + 2 \frac{a^2 b^2}{\left( a + b \right)^2}\\ & = \frac{a^2 \left( a + b \right)^2}{\left( a + b \right)^2} - \frac{2a^2b \left( a + b \right)}{\left( a + b \right)^2} + \frac{2a^2b^2}{\left( a + b \right)^2}\\ & = \frac{a^4 + 2a^3b + a^2b^2 - 2a^3b - 2a^2b^2 + 2a^2b^2}{\left( a + b \right)^2}\\ & = \frac{a^4 + a^2b^2}{\left( a + b \right)^2}\\ & = \frac{a^2 \left(a^2 + b^2 \right)}{\left( a + b \right)^2} \end{align}$$ Analog: $$v^2 = \frac{b^2 \left( a^2 + b^2 \right)}{\left( a + b \right)^2}$$ Mit $$\begin{align}u^2 + v^2 & = \frac{\left( a^2 + b^2 \right) \left( a^2 + b^2 \right)}{\left( a + b \right)^2}\\ & = \frac{\left( a^2 + b^2 \right)^2}{\left( a + b \right)^2} \end{align}$$ ergibt sich $$\begin{align}\frac{u^2v^2}{u^2 + v^2} & = \frac{a^2b^2 \left( a^2 + b^2 \right)^2}{\left( a + b \right)^4} \cdot \frac{\left( a + b \right)^2}{\left( a^2 + b^2 \right)^2}\\ & = \frac{a^2b^2}{\left( a + b \right)^2}\\ & = q^2 \end{align}$$ Jetzt sagt nicht, dass das auch einfacher ohne ellenlange Rechung geht! LLAP 🖖 -- _“I love to go to JS conferences to speak about how to avoid using JavaScript. Please learn CSS & HTML to reduce your JS code bloat.”_{: lang="en"} —Estelle Weyl

@@Gunnar Bittersmann > > Ein Eckpunkt des Quadrates teilt die Hypothenuse in die Abschnitte[^1] _u_ und _v_. > > > > Man zeige, dass gilt: > > > > $$q^2 = \frac{\left( uv\right) ^2}{u^2+v^2}$$ > > Jetzt sitz ich schon 5 Minuten an der Aufgabe und hab’s immer noch nicht. Ich brauch erstmal eine Pause von der Frühstückspause. Jetzt aber Schluss mit Pause! Wir erinnern uns: $$q^2 = \frac{a^2b^2}{\left( a + b \right)^2}$$ Pythagoras rausgekramt: $$\begin{align} u^2 & = \left( a - q \right)^2 +q^2\\ & = a^2 - 2aq + 2q^2\\ & = a^2 - 2a \frac{ab}{a+b} + 2 \frac{a^2 b^2}{\left( a + b \right)^2}\\ & = \frac{a^2 \left( a + b \right)^2}{\left( a + b \right)^2} - \frac{2a^2b \left( a + b \right)}{\left( a + b \right)^2} + \frac{2a^2b^2}{\left( a + b \right)^2}\\ & = \frac{a^4 + 2a^3b + a^2b^2 - 2a^3b - 2a^2b^2 + 2a^2b^2}{\left( a + b \right)^2}\\ & = \frac{a^4 + a^2b^2}{\left( a + b \right)^2}\\ & = \frac{a^2 \left(a^2 + b^2 \right)}{\left( a + b \right)^2} \end{align}$$ Analog: $$v^2 = \frac{b^2 \left( a^2 + b^2 \right)}{\left( a + b \right)^2}$$ Mit $$\begin{align}u^2 + v^2 & = \frac{\left( a^2 + b^2 \right) \left( a^2 + b^2 \right)}{\left( a + b \right)^2}\\ & = \frac{\left( a^2 + b^2 \right)^2}{\left( a + b \right)^2} \end{align}$$ ergibt sich $$\begin{align}\frac{u^2v^2}{u^2 + v^2} & = \frac{a^2b^2 \left( a^2 + b^2 \right)^2}{\left( a + b \right)^4} \cdot \frac{\left( a + b \right)^2}{\left( a^2 + b^2 \right)^2}\\ & = \frac{a^2b^2}{\left( a + b \right)^2}\\ & = q^2 \end{align}$$ Jetzt sagt nicht, dass das auch einfacher ohne ellenlange Rechung geht! LLAP 🖖 -- _“I love to go to JS conferences to speak about how to avoid using JavaScript. Please learn CSS & HTML to reduce your JS code bloat.”_{: lang="en"} —Estelle Weyl

@@Gunnar Bittersmann > > Ein Eckpunkt des Quadrates teilt die Hypothenuse in die Abschnitte[^1] _u_ und _v_. > > > > Man zeige, dass gilt: > > > > $$q^2 = \frac{\left( uv\right) ^2}{u^2+v^2}$$ > > Jetzt sitz ich schon 5 Minuten an der Aufgabe und hab’s immer noch nicht. Ich brauch erstmal eine Pause von der Frühstückspause. Jetzt aber Schluss mit Pause! Wir erinnern uns: $$q^2 = \frac{a^2b^2}{\left( a + b \right)^2}$$ Pythagoras rausgekramt: $$\begin{align} u^2 & = \left( a - q \right)^2 +q^2\\ & = a^2 - 2aq + 2q^2\\ & = a^2 - 2a \frac{ab}{a+b} + 2 \frac{a^2 b^2}{\left( a + b \right)^2}\\ & = \frac{a^2 \left( a + b \right)^2}{\left( a + b \right)^2} - \frac{2a^2b \left( a + b \right)}{\left( a + b \right)^2} + \frac{2a^2b^2}{\left( a + b \right)^2}\\ & = \frac{a^4 + 2a^3b + a^2b^2 - 2a^3b - 2a^2b^2 + 2a^2b^2}{\left( a + b \right)^2}\\ & = \frac{a^4 + a^2b^2}{\left( a + b \right)^2}\\ & = \frac{a^2 \left(a^2 + b^2 \right)}{\left( a + b \right)^2} \end{align}$$ Analog: $$v^2 = \frac{b^2 \left( a^2 + b^2 \right)}{\left( a + b \right)^2}$$ Mit $$\begin{align}u^2 + v^2 & = \frac{\left( a^2 + b^2 \right) \left( a^2 + b^2 \right)}{\left( a + b \right)^2}\\ & = \frac{\left( a^2 + b^2 \right)^2}{\left( a + b \right)^2} \end{align}$$ ergibt sich $$\begin{align}\frac{u^2v^2}{u^2 + v^2} & = \frac{a^2b^2 \left( a^2 + b^2 \right)^2}{\left( a + b \right)^4} \cdot \frac{\left( a + b \right)^2}{\left( a^2 + b^2 \right)^2}\\ & = \frac{a^2b^2}{\left( a + b \right)^2}\\ & = q^2 \end{align}$$ LLAP 🖖 -- _“I love to go to JS conferences to speak about how to avoid using JavaScript. Please learn CSS & HTML to reduce your JS code bloat.”_{: lang="en"} —Estelle Weyl