Mathematik zum Wochenende

[Matthias Apsel]

Hallo alle,

Beweisen Sie, dass für beliebige nicht negative Zahlen $$a$$, $$b$$, $$c$$ folgende Ungleichung gilt:

$$ a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc $$

Bis demnächst
Matthias

[Der-Dennis]

Hallo Matthias,

Beweisen Sie, dass für beliebige nicht negative Zahlen $$a$$, $$b$$, $$c$$ folgende Ungleichung gilt:

$$ a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc $$

ich hab's jetzt nicht gerechnet, aber für mich sieht sowas immer schwer nach Binomischen Lehrsatz aus.

Ich tippe also mal einfach blind drauf los, weil die Dinger eigentlich immer gleich ablaufen :-)

• alles auf eine Seite bringen (daraus folgt größer gleich Null auf einer Seite)
• da es eine quadratische Funktion ist, müssten da nach Lehrsatz Zweier drin vorkommen, also mit 2 multiplizieren
• vollständige Induktion (Ungleichung ist für die Zahl Null erfüllt und für alle anderen auch, da das eine quadratische Funktion ist und deren Wert immer größer Null)
• q.e.d. (in der Hoffnung, dass das auch hier tatsächlich so ist ;-) )

Gruß
Dennis

[Matthias Apsel]

Hallo Der-Dennis,

• alles auf eine Seite bringen (daraus folgt größer gleich Null auf einer Seite)

Ja, so kann man anfangen.

• vollständige Induktion

Vollständige Induktion geht hier nicht.

Eine Fallunterscheidung hilft weiter.

• alle Zahlen sind gleich -> trivial
• zwei Zahlen sind gleich -> das ist mit deinem Ansatz auch (fast) trivial
• die Zahlen sind paarweise verschieden

Bis demnächst
Matthias

[Tabellenkalk]

Hallo,

die Zahlen sind paarweise verschieden

du meinst jeweils drei bilden ein Paar und sind verstorben?

Gruß
Kalk

[Der-Dennis]

Hallo Matthias,

Eine Fallunterscheidung hilft weiter.

• alle Zahlen sind gleich -> trivial
• zwei Zahlen sind gleich -> das ist mit deinem Ansatz auch (fast) trivial
• die Zahlen sind paarweise verschieden

braucht man denn überhaupt eine Fallunterscheidung? Ich hab's gerade mal mit der „Bauernmethode“ versucht (so hat unser Lehrer das früher immer genannt, wenn wir irgendwas nicht mathematisch komplett konform oder nicht in seinem Sinne gemacht haben), nachdem Du meinen Ehrgeiz geweckt hast ;-) Irgendwie ist es manchmal schon schade, dass man Mathematik nur noch nebenbei macht und vieles einfach vergisst.

$$ a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc $$
$$ \Longleftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc \geq 0 $$
$$ \Longleftrightarrow 2*(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc) \geq 2*0 $$
$$ \Longleftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc \geq 0 $$
$$ \Longleftrightarrow a^2+a^2+b^2+b^2+c^2+c^2-2ab-2ac-2bc \geq 0 $$
$$ \Longleftrightarrow a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2 \geq 0 $$
$$ \Longleftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bc+c^2) \geq 0 $$
$$ \Longleftrightarrow \underbrace{(a-b)^2}{\geq 0}+\underbrace{(a-c)^2}{\geq 0}+\underbrace{(b-c)^2}_{\geq 0} \geq 0 \qquad , \qquad ∀;a,b,c∈\mathbb{R} $$

Falls ich da keinen Fehler gemacht habe, müsste das also sogar für alle reellen Zahlen gelten und die Einschränkungen in der Aufgabe müssten nicht mal sein!? Oder wo ich hab ich meinen Denkfehler?

Schöne Aufgabe!

Gruß
Dennis

[Matthias Apsel]

Hallo Der-Dennis,

braucht man denn überhaupt eine Fallunterscheidung? Ich hab's gerade mal mit der „Bauernmethode“ versucht (so hat unser Lehrer das früher immer genannt, wenn wir irgendwas nicht mathematisch komplett konform oder nicht in seinem Sinne gemacht haben), nachdem Du meinen Ehrgeiz geweckt hast ;-) Irgendwie ist es manchmal schon schade, dass man Mathematik nur noch nebenbei macht und vieles einfach vergisst.

$$ a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc $$
$$ \Longleftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc \geq 0 $$
$$ \Longleftrightarrow 2*(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc) \geq 2*0 $$
$$ \Longleftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc \geq 0 $$
$$ \Longleftrightarrow a^2+a^2+b^2+b^2+c^2+c^2-2ab-2ac-2bc \geq 0 $$
$$ \Longleftrightarrow a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2 \geq 0 $$
$$ \Longleftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bc+c^2) \geq 0 $$
$$ \Longleftrightarrow \underbrace{(a-b)^2}{\geq 0}+\underbrace{(a-c)^2}{\geq 0}+\underbrace{(b-c)^2}_{\geq 0} \geq 0 \qquad , \qquad ∀;a,b,c∈\mathbb{R} $$

Ja, das ist geschickter als mein Beweis.

Falls ich da keinen Fehler gemacht habe, müsste das also sogar für alle reellen Zahlen gelten und die Einschränkungen in der Aufgabe müssten nicht mal sein!? Oder wo ich hab ich meinen Denkfehler?

Mein Beweis gilt auch für alle reellen Zahlen, wo ich so drüber nachdenke. Die Aufgabe ist nicht von mir, ich weiß also nicht, warum die Einschränkungen da gemacht wurden. Aber sie hat mir auch gefallen.

Bis demnächst
Matthias

[Der-Dennis]

Hallo Matthias,

Ja, das ist geschickter als mein Beweis.

freut mich! Dann stimmt das Sprichwort ja, dass auch ein blindes Huhn mal nen Korn findet ;-)

Die Aufgabe ist nicht von mir, ich weiß also nicht, warum die Einschränkungen da gemacht wurden.

Vielleicht, weil wir die Frage nicht richtig gelesen haben? Als ich mir das gerade nochmal durchgelesen habe, ist mir aufgefallen, dass Du von „beliebigen nicht negativen Zahlen“ gesprochen hast. Ich bin bis gerade davon ausgegangen, dass das reelle Zahlen sind. Könnte das nicht bei komplexen Zahlen anders sein und daher die Einschränkung kommen?

Ich würde daher eine Anschlussfrage stellen: Beweisen oder widerlegen Sie, dass für beliebige nicht negative Zahlen $$a,b,c∈\mathbb{C}$$ folgende Ungleichung gilt:

$$ a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc $$

Gruß
Dennis

[Matthias Apsel]

Hallo Der-Dennis,

Ich würde daher eine Anschlussfrage stellen: Beweisen oder widerlegen Sie, dass für beliebige nicht negative Zahlen $$a,b,c∈\mathbb{C}$$ folgende Ungleichung gilt:

$$ a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc $$

Diese Fragestellung ist sinnlos. Innerhalb der komplexen Zahlen gibt es weder eine Ordnungsrelation noch können sie negativ sein.

Bis demnächst
Matthias

[Der-Dennis]

Hallo Matthias,

Ich würde daher eine Anschlussfrage stellen: Beweisen oder widerlegen Sie, dass für beliebige nicht negative Zahlen $$a,b,c∈\mathbb{C}$$ folgende Ungleichung gilt:

$$ a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc $$

Diese Fragestellung ist sinnlos. Innerhalb der komplexen Zahlen gibt es weder eine Ordnungsrelation noch können sie negativ sein.

ja, korrekt. Da war ich zu vorschnell. Sorry. Dann wäre aber wirklich die Frage, warum die Einschränkungen gemacht wurden.

Gruß
Dennis

[Matthias Apsel]

Hallo Der-Dennis,

Dann wäre aber wirklich die Frage, warum die Einschränkungen gemacht wurden.

Das war Aufgabe 42c. Die Beweise bei 42a und b benötigen die Einschränkung.

Bis demnächst
Matthias

[Matthias Apsel]

Hallo Matthias Apsel,

Das war Aufgabe 42c. Die Beweise bei 42a und b benötigen die Einschränkung.

Bei 42a dürfen es sogar nur positive Zahlen sein. Ich hätte sie nicht ignorieren sollen ;-) Dann hätte ich bestimmt DesDennis' Lösungsweg gesehen. Aber dann wäre die Aufgabe wahrscheinlich auch nicht hier gelandet.

42a Man zeige, dass

$$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$$

Bis demnächst
Matthias

[Gunnar Bittersmann]

@@Matthias Apsel

42a Man zeige, dass

$$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$$

Der algebraische Weg sollte offensichtlich sein. Es geht aber auch hier geometrisch, Strahlensatz reicht.

O.B.d.A. a ≥ b. Ich betrachte den Fall a ≥ b > 1:

Die Punkte A und B liegen auf verschiedenen Schenkeln eines Winkels, so dass die Längen OA = a und OB = b sind. Die Punkte E und F sind jeweils eine Längeneinheit vom Scheitel entfernt: OE = OF = 1.

Die Parallele zu AB durch E schneide den anderen Schenkel in Q, die Parallele zu AB durch F schneide den anderen Schenkel in P.

Für a > b liegt P zwischen E und A und Q zwischen O und F. Die Längen seien EP = p und QF = q.

Für a = b fällt P mit E und Q mit F zusammen, d.h. p = q = 0.

Nach Strahlensatz gilt:
$$\frac{OP}{OF} = \frac{OA}{OB}$$, also $$\frac{OP}{1} = \frac{a}{b}$$
und
$$\frac{OQ}{OE} = \frac{OB}{OA}$$, also $$\frac{OQ}{1} = \frac{b}{a}$$

Außerdem:
$$\frac{EP}{QF} = \frac{OA}{OB}$$, also $$\frac{p}{q} = \frac{a}{b}$$, d.h. wegen a ≥ b gilt p ≥ q, also p − q ≥ 0.

Nun ist
OP + OQ = OE + EP + OF − QF, also $$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 1 + p + 1 - q = 2 + p - q ≥ 2 + 0$$.

Entsprechend wären noch die Fälle a ≥ 1 ≥ b und 1 > a ≥ b zu betrachten.

LLAP 🖖

[Matthias Apsel]

Hallo Gunnar Bittersmann,

Der algebraische Weg sollte offensichtlich sein.

Ist er.

Es geht aber auch hier geometrisch, Strahlensatz reicht.

Schick.

Bis demnächst
Matthias

[Gunnar Bittersmann]

@@Matthias Apsel

Der algebraische Weg sollte offensichtlich sein.

Ist er.

Da wird auch offensichtlich, warum a und b positiv sein sollen. Obwohl: Sie könnten auch beide negativ sein.

LLAP 🖖

[Gunnar Bittersmann]

@@Matthias Apsel

Es geht aber auch hier geometrisch, Strahlensatz reicht.

Schick.

Nicht ganz. Ein Fehler ist drin. Wer findet ihn?

LLAP 🖖

[Tabellenkalk]

Hallo,

Nicht ganz. Ein Fehler ist drin. Wer findet ihn?

Ist das Bild verzerrt, oder warum ist bei Dir 1 unterschiedlich groß?

Gruß
Kalk

[Gunnar Bittersmann]

@@Tabellenkalk

Nicht ganz. Ein Fehler ist drin. Wer findet ihn?

Ist das Bild verzerrt, oder warum ist bei Dir 1 unterschiedlich groß?

Das Bild ist eine Skizze, da dürfen Verzerrungen sein. Der Fehler ist anderer Natur.

LLAP 🖖

[Matthias Apsel]

Hallo Gunnar Bittersmann,

Nicht ganz. Ein Fehler ist drin. Wer findet ihn?

Ich nicht. Klär uns auf.

Bis demnächst
Matthias

[Gunnar Bittersmann]

@@Matthias Apsel

Nicht ganz. Ein Fehler ist drin. Wer findet ihn?

Ich nicht. Klär uns auf.

Hm.

Für a = b fällt P mit E und Q mit F zusammen, d.h. p = q = 0. […]

$$\frac{EP}{QF} = \frac{OA}{OB}$$, also $$\frac{p}{q} = \frac{a}{b}$$

Merkt Ihr was?

LLAP 🖖

[Matthias Apsel]

Hallo Gunnar Bittersmann,

Für a = b fällt P mit E und Q mit F zusammen, d.h. p = q = 0. […]

Damit ist der Fall a = b in meinen Augen abgehakt.

$$\frac{EP}{QF} = \frac{OA}{OB}$$, also $$\frac{p}{q} = \frac{a}{b}$$

Das gilt dann jetzt nur noch für a > b

Bis demnächst
Matthias

[Rolf b]

Für a = b fällt P mit E und Q mit F zusammen, d.h. p = q = 0. […] Damit ist der Fall a = b in meinen Augen abgehakt.

Schon, aber der Fehler, den Gunnar uns suchen ließ, war, dass dieses Abhaken implizit war. Ein korrekter Beweis hätte diesen Fall explizit aufgeführt und bemerkt, dass für $$a=b$$ die Aussage zu $$1+1=2$$ wird und damit trivial.

Nä nä, is dat lang her, dass ich richtig Mathe gemacht habe. Strahlensätze musste ich nachgucken und dann überseh ich die Division durch 0. Witzig ist nur, dass die gesamte Argumentation am Ende trotzdem stimmt, auch für $$p=q=0$$.

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf b

Für a = b fällt P mit E und Q mit F zusammen, d.h. p = q = 0. […] Damit ist der Fall a = b in meinen Augen abgehakt.

Schon, aber der Fehler, den Gunnar uns suchen ließ, war, dass dieses Abhaken implizit war.

Der Fehler war, dass ich den Fall eben nicht abgehakt hatte, um mir die Fallunterscheidung zu sparen.

LLAP 🖖

[Gunnar Bittersmann]

@@Der-Dennis

Dann wäre aber wirklich die Frage, warum die Einschränkungen gemacht wurden.

Damit man auf die Idee kommt, _a_², _b_², _c_² als Flächen von Quadraten und ab, ac, bc als Flächen von Rechtecken zu verstehen?

LLAP 🖖

[Der-Dennis]

Hallo Gunnar,

Dann wäre aber wirklich die Frage, warum die Einschränkungen gemacht wurden.

Damit man auf die Idee kommt, _a_², _b_², _c_² als Flächen von Quadraten und ab, ac, bc als Flächen von Rechtecken zu verstehen?

das ist natürlich ein Argument. Ich hatte mich nur gewundert, weil solche Aufgaben ja meistens maximal einschränkend formuliert sind. Und aus der Erfahrung heraus hat man eigentlich immer was nicht bedacht, wenn man irgendeine Information nicht benötigt.

Deine Skizze ist übrigens schick und überzeugend. Gute Herangehensweise! Da wär ich nicht drauf gekommen, dass man das so anschaulich zeigen könnte.

Ich bin aber mal auf Dein Bild gespannt, wenn Matthias das nächste Mal eine Aufgabe stellen sollte, welche einen Exponenten größer 3 beinhaltet ;-)

Gruß
Dennis

[Der Martin]

Hallo,

Ich hatte mich nur gewundert, weil solche Aufgaben ja meistens maximal einschränkend formuliert sind. Und aus der Erfahrung heraus hat man eigentlich immer was nicht bedacht, wenn man irgendeine Information nicht benötigt.

das kann ich aus meiner Erfahrung nicht unbedingt bestätigen. Ich habe in meinem Studium zwei Profs erlebt, die in ihren Prüfungsaufgaben gern Informationen gaben, die für die Aufgabe völlig irrelevant waren. Man musste sich seiner Sache also sicher genug sein, so dass man diese Angaben gezielt ignorieren konnte. Wer anfing zu überlegen, wofür man denn diese zusätzliche Info noch bräuchte, hatte eigentlich schon verloren.
Das entspricht aber durchaus der Realität, wo man auch oft eine Fülle von Beobachtungen oder Messwerten hat, und zunächst mal die Spreu vom Weizen trennen muss: Was brauche ich, was ist überflüssig?

Deine Skizze ist übrigens schick und überzeugend. Gute Herangehensweise! Da wär ich nicht drauf gekommen, dass man das so anschaulich zeigen könnte.

Wäre mir auch nicht eingefallen, obwohl ich ein ausgesprochener Freund von anschaulichen Lösungen oder Erklärungen bin.

Ich bin aber mal auf Dein Bild gespannt, wenn Matthias das nächste Mal eine Aufgabe stellen sollte, welche einen Exponenten größer 3 beinhaltet ;-)

Ich bin zuversichtlich, dass Gunnar dann eine Skizze der vierdimensionalen Raumzeit macht. ;-)

Ciao,
 Martin

[Matthias Apsel]

Hallo Der-Dennis,

Ich bin aber mal auf Dein Bild gespannt, wenn Matthias das nächste Mal eine Aufgabe stellen sollte, welche einen Exponenten größer 3 beinhaltet ;-)

Bis drei wäre ja kein Problem.

Bis demnächst
Matthias

[Der Martin]

Hallo,

freut mich! Dann stimmt das Sprichwort ja, dass auch ein blindes Huhn mal nen Korn findet ;-)

das Sprichwort ist falsch zitiert. Es muss heißen: Auch ein blinder Säufer findet mal 'nen Korn.
Beim Huhn war es das Korn, nicht der Korn.

Als ich mir das gerade nochmal durchgelesen habe, ist mir aufgefallen, dass Du von „beliebigen nicht negativen Zahlen“ gesprochen hast. Ich bin bis gerade davon ausgegangen, dass das reelle Zahlen sind.

Sollten sie wohl auch sein, und dass die Einschränkung auf positive Zahlen nicht nötig ist, hat Gunnar schon gezeigt.

Könnte das nicht bei komplexen Zahlen anders sein und daher die Einschränkung kommen?

Ja. Aber bei komplexen Zahlen gibt es kein "negativ" oder "positiv".

Ich würde daher eine Anschlussfrage stellen: Beweisen oder widerlegen Sie, dass für beliebige nicht negative Zahlen $$a,b,c∈\mathbb{C}$$ folgende Ungleichung gilt:

$$ a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc $$

Das wird nichts. Denn AFAIK ist für komplexe Zahlen die Größer- oder Kleiner-Relation nicht definiert. Höchstens für ihren Real- oder Imaginärteil, oder für ihren Betrag oder ihren Winkel.

Ciao,
 Martin

[Der-Dennis]

Hallo Martin,

freut mich! Dann stimmt das Sprichwort ja, dass auch ein blindes Huhn mal nen Korn findet ;-)

das Sprichwort ist falsch zitiert. Es muss heißen: Auch ein blinder Säufer findet mal 'nen Korn.
Beim Huhn war es das Korn, nicht der Korn.

:-)

Könnte das nicht bei komplexen Zahlen anders sein und daher die Einschränkung kommen?

Ja. Aber bei komplexen Zahlen gibt es kein "negativ" oder "positiv".

Ich würde daher eine Anschlussfrage stellen: Beweisen oder widerlegen Sie, dass für beliebige nicht negative Zahlen $$a,b,c∈\mathbb{C}$$ folgende Ungleichung gilt:

$$ a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc $$

Das wird nichts. Denn AFAIK ist für komplexe Zahlen die Größer- oder Kleiner-Relation nicht definiert. Höchstens für ihren Real- oder Imaginärteil, oder für ihren Betrag oder ihren Winkel.

Ja, vollkommen richtig. Wie ich gerade Matthias schon geantwortet hab, war das vorschnell und dämlich :-)

Gruß
Dennis

[j4nk3y]

Salve,

$$ a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc $$
$$ \Longleftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc \geq 0 $$
$$ \Longleftrightarrow 2*(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc) \geq 2*0 $$
$$ \Longleftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc \geq 0 $$
$$ \Longleftrightarrow a^2+a^2+b^2+b^2+c^2+c^2-2ab-2ac-2bc \geq 0 $$
$$ \Longleftrightarrow a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2 \geq 0 $$
$$ \Longleftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bc+c^2) \geq 0 $$
$$ \Longleftrightarrow \underbrace{(a-b)^2}{\geq 0}+\underbrace{(a-c)^2}{\geq 0}+\underbrace{(b-c)^2}_{\geq 0} \geq 0 \qquad , \qquad ∀;a,b,c∈\mathbb{R} $$

Schicker Beweis :) Leider hab ich es zu Spät gesehn...

Gruß Jo

[Rolf b]

Die Verdoppelung ist ziemlich schlau :)

Da Du nicht quadrierst und nicht mit den Variablen multiplizierst, sehe ich ebenfalls keinen Grund, die Variablen auf die nichtnegativen reellen Zahlen zu beschränken. Vielleicht wollte der Aufgabensteller Panik vermeiden, denn wenn man nicht auf den Verdopplertrick kommt, dann fängt man die wilden Fallunterscheidungen mit positiv und negativ an.

Ich hab's gerade mit den vier Fällen $$ a = b = c $$, $$ a > b = c $$, $$ a = b > c $$ und $$ a > b > c $$ durchgerechnet. Fall 1 ist trivial, Fall 2 und Fall 3 laufen schnell auf $$ (a-b)^2\geq 0 $$ und $$(a-c)^2 \geq 0 $$ hinaus. Fall 4 habe ich dann so gerechnet:

$$ a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc $$
$$ \Longleftrightarrow a^2+b^2+c^2 -2ab-c^2 \geq ab+ac+bc -2ab-c^2 $$
$$ \Longleftrightarrow a^2-2ab + b^2 +c^2 -c^2 \geq ac-ab+bc -c^2 $$
$$ \Longleftrightarrow (a-b)^2 \geq a(c-b)+c(b -c) $$
$$ \Longleftrightarrow (a-b)^2 \geq a(c-b)-c(c -b) $$
$$ \Longleftrightarrow \underbrace{(a-b)^2}{\gt0} \geq \underbrace{(a-c)}{\gt0}\underbrace{(c-b)}_{\lt0} $$

Und jetzt steht links eine positive Zahl, rechts eine negative Zahl (weil a>c und b>c) und damit sind die vier Fälle bewiesen. Wenn man jetzt negative a,b,c, zulässt, wird es vermutlich auf ähnliche Rechnungen hinauslaufen, aber man muss eben alle 8 Kombinationen von negativ und nichtnegativ durchkauen.

Der Verdopplertrick ist dagegen VIEL eleganter :) Grats dazu.

Rolf

[Matthias Apsel]

Hallo Rolf b,

Man brauch übrigens nicht zwischen Fall 2a und 2b zu unterscheiden. Du kannst ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass a=b≠c ist.

Fall 4 habe ich dann so gerechnet:

Ich auch.

Bis demnächst
Matthias

[Der-Dennis]

Hallo Rolf,

Die Verdoppelung ist ziemlich schlau :)

finde ich auch :-) Ich bin da aber wie „die Jungfrau zum Kinde“ hin gekommen und die Idee werden bestimmt auch schon andere gehabt haben. Ich hab zuerst versucht das mit vollständiger Induktion zu lösen. Wie Matthias schon sagte kommt man damit aber überhaupt nicht weiter (wieder was gelernt!).

Danach hab ich's dann mehrfach mit den Fallunterscheidungen versucht (nachdem Matthias mir den Tipp gegeben hatte), bin aber kläglich daran gescheitert. Fall 1 ($$a=b=c$$) und Fall 2 ($$a=b\neq c$$) gingen noch problemlos. Bei Fall 3 ($$a\neq b\neq c$$) bin ich dann aber gar nicht mehr weiter gekommen. Entweder hab ich mich irgendwo verrechnet oder ich konnte nichts beweisen. Oder ich hab mal wieder bewiesen, dass $$1 \ge 1 $$ ist. Ich weiß nicht, wie oft ich das schon bewiesen habe, weil ich irgendwo Fehler gemacht habe… (Auch beliebt: $$0=0$$)

Bei einem (fehlerhaften) Versuch mit quadratischer Ergänzung oder wie das heißt war da aber auf einmal bei fast jeder Variable der Faktor 2 drin. Ich hab dann ganz stumpf einfach mal ausprobiert, was passiert, wenn ich alles mal zwei nehme. Die Zwei „musste“ ja rein, zumindest ging ich davon aus, weil die Aufgabe ja sehr nach Binomischem Lehrsatz aussah. Und konnte dann gar nicht glauben, dass da tatsächlich etwas Sinnvolles bei rauskommt :-)

Danach fand ich übrigens amüsant, dass ich mich zuvor geärgert hatte, weil ich in dem ersten Posting „also mit 2 multiplizieren“ geschrieben hatte. Sollte nämlich eigentlich heißen, dass ich vermute, da gehört irgendwo eine $$2$$ rein und das wahrscheinlich mittels einer Ergänzung, nicht einer Multiplikation. Ich konnte das Posting dann aber leider nicht mehr editieren. Das genau der Punkt aber eigentlich schon eine relativ elegante Lösung war, hab ich erst danach verstanden :-)

Da Du nicht quadrierst und nicht mit den Variablen multiplizierst, sehe ich ebenfalls keinen Grund, die Variablen auf die nichtnegativen reellen Zahlen zu beschränken. Vielleicht wollte der Aufgabensteller Panik vermeiden, denn wenn man nicht auf den Verdopplertrick kommt, dann fängt man die wilden Fallunterscheidungen mit positiv und negativ an.

Ja, das kann sehr gut sein! Ich stand jedenfalls kurz vor der Aufgabe, weil ich Fall 3 nicht hinbekommen habe.

Ich hab's gerade mit den vier Fällen $$ a = b = c $$, $$ a > b = c $$, $$ a = b > c $$ und $$ a > b > c $$ durchgerechnet. Fall 1 ist trivial, Fall 2 und Fall 3 laufen schnell auf $$ (a-b)^2\geq 0 $$ und $$(a-c)^2 \geq 0 $$ hinaus. Fall 4 habe ich dann so gerechnet:

$$ a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc $$
$$ \Longleftrightarrow a^2+b^2+c^2 -2ab-c^2 \geq ab+ac+bc -2ab-c^2 $$
$$ \Longleftrightarrow a^2-2ab + b^2 +c^2 -c^2 \geq ac-ab+bc -c^2 $$
$$ \Longleftrightarrow (a-b)^2 \geq a(c-b)+c(b -c) $$
$$ \Longleftrightarrow (a-b)^2 \geq a(c-b)-c(c -b) $$
$$ \Longleftrightarrow \underbrace{(a-b)^2}{\gt0} \geq \underbrace{(a-c)}{\gt0}\underbrace{(c-b)}_{\lt0} $$

Und jetzt steht links eine positive Zahl, rechts eine negative Zahl (weil a>c und b>c) und damit sind die vier Fälle bewiesen. Wenn man jetzt negative a,b,c, zulässt, wird es vermutlich auf ähnliche Rechnungen hinauslaufen, aber man muss eben alle 8 Kombinationen von negativ und nichtnegativ durchkauen.

Sehr schön! Danke! Jetzt seh ich auch, wie man das mit einer Fallunterscheidung hinbekommt. Ich hab zwar verschiedene Ergänzungen ausprobiert, auf diese Variante bin ich aber nicht gekommen!

Gruß
Dennis

[Gunnar Bittersmann]

@@Matthias Apsel

Eine Fallunterscheidung hilft weiter.

Keine Fallunterscheidung aber auch. ;-b

Warum kompliziert, wenn’s auch einfach geht?

Bei den Termen _a_², _b_², ab etc. denkt man™ doch gleich an die binomische Formel. (Und zwar an die, die tatsächlich eine binomische Formel ist.)

Ich weiß nicht, was Der-Dennis da zusammengeschrieben hat; bei mir ist’s ein Dreizeiler:

Für alle reellen a, b, c (ohne Einschränkung auf nichtnegative) gilt:
(a − b)² + (a − c)² + (b − c)² ≥ 0
a_² − 2_ab + b_² + a_² − 2_ac + c_² + b_² − 2_bc + c_² ≥ 0
2_a_² + 2_b_² + 2_c_² ≥ 2_ab + 2_ac + 2_bc

Das Durchzweiteilen überlasse ich euch.

LLAP 🖖

[Tabellenkalk]

Hallo,

Ich weiß nicht, was Der-Dennis da zusammengeschrieben hat;

Dann lies es dir halt durch!

bei mir ist’s ein Dreizeiler:

(a − b)² + (a − c)² + (b − c)² ≥ 0
a_² − 2_ab + b_² + a_² − 2_ac + c_² + b_² − 2_bc + c_² ≥ 0
2_a_² + 2_b_² + 2_c_² ≥ 2_ab + 2_ac + 2_bc
Das Durchzweiteilen überlasse ich euch.

Hm, ich seh da vier Zeilen

Gruß
Kalk

[Gunnar Bittersmann]

@@Tabellenkalk

Ich weiß nicht, was Der-Dennis da zusammengeschrieben hat;

Dann lies es dir halt durch!

TL;DR.

bei mir ist’s ein Dreizeiler:

(a − b)² + (a − c)² + (b − c)² ≥ 0
a_² − 2_ab + b_² + a_² − 2_ac + c_² + b_² − 2_bc + c_² ≥ 0
2_a_² + 2_b_² + 2_c_² ≥ 2_ab + 2_ac + 2_bc
Das Durchzweiteilen überlasse ich euch.

Hm, ich seh da vier Zeilen

Ich ändere die letzte Zeile in
2_a_² + 2_b_² + 2_c_² ≥ 2ab + 2ac + 2bc
;-b

LLAP 🖖

[Rolf b]

Gunnar, deins ist genau das gleiche wie Dennis' , nur in anderer Richtung gerechnet und weniger Zwischenschritte aufgeschrieben :)

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf b

Gunnar, deins ist genau das gleiche wie Dennis'

Ach‽ ;-)

nur in anderer Richtung gerechnet

Ich finde es eleganter, von der Binsenweisheit auszugehen und daraus das Gewünschte abzuleiten.

und weniger Zwischenschritte aufgeschrieben :)

Aus den Zwischenschritten muss der Gedankengang nachvollziehbar sein. So viele Zwischenschritte wie dazu nötig, aber nicht mehr.

LLAP 🖖

[Der-Dennis]

Hallo Gunnar,

Aus den Zwischenschritten muss der Gedankengang nachvollziehbar sein. So viele Zwischenschritte wie dazu nötig, aber nicht mehr.

auch wenn Du mit der Meinung in guter Gesellschaft bist, finde ich das nicht. Das Problem ist, das selbst einfache Umformungen schwierig nachzuvollziehen sein können, wenn sie nicht erwähnt werden. Die Nachvollziehbarkeit kann außerdem von Leser zu Leser anders sein. Ich bin daher dafür, alles möglichst detailliert zu zeigen - sofern das möglich ist.

Ich will gar nicht wissen, wie viele (Mann-) Stunden / Tage / Monate / Jahre jedes Jahr allein an Unis in den Wind geschossen werden, weil irgendjemand versucht nachzuvollziehen, was jemand anderes sich dabei gedacht hat. Und das sind nicht alles Idioten. Und der Schreiber ging davon aus, dass sein Gedankengang nachvollziehbar sei. Offensichtich in vielen Fällen nicht. Wenn mehrere Schritte fehlen, kommt man aber halt einfach oft nicht darauf, auch wenn es nur ein „mal zwei“ ist.

Gruß Dennis

[Gunnar Bittersmann]

@@Der-Dennis

Aus den Zwischenschritten muss der Gedankengang nachvollziehbar sein. So viele Zwischenschritte wie dazu nötig, aber nicht mehr.

auch wenn Du mit der Meinung in guter Gesellschaft bist, finde ich das nicht.

Ich denke doch, dass du das auch findest. Wir unterscheiden uns in der Ansicht, wie viele Zwischenschritte nötig sind.

Und das hängt vom Zielpublikum ab. Im Matheunterricht, wo die größere Hälfte der Klasse^[1] denkt „hä?“, sind das sicher mehr als bei denen, die diesem Thread folgen.

War denn bei meinem Dreizeiler irgendein Schritt nicht nachvollziehbar?

Vielleicht hätte es auch eine Zeile mehr sein können:
(a − b)² + (a − c)² + (b − c)² ≥ 0
a_² − 2_ab + b_² + a_² − 2_ac + c_² + b_² − 2_bc + c_² ≥ 0
2_a_² + 2_b_² + 2_c_² − 2_ab − 2_ac − 2_bc ≥ 0
2_a_² + 2_b_² + 2_c_² ≥ 2ab + 2ac + 2bc

Ich bin daher dafür, alles möglichst detailliert zu zeigen - sofern das möglich ist.

Damit verlierst du evtl. Teile des Zielpublikums, die bspw. nicht erklärt haben wollen, wie eine Klammer aufgelöst wird, vor der ein + steht.

… weil irgendjemand versucht nachzuvollziehen, was jemand anderes sich dabei gedacht hat. … Wenn mehrere Schritte fehlen, kommt man aber halt einfach oft nicht darauf

Darin besteht die Kunst des „So viele wie nötig, so wenige wie möglich“. Der Übergang von einer Zeile zur nächsten sollte jeweils nachvollziehbar sein.

LLAP 🖖

---

1. Der ist bekannt, oder? ↩︎

[Rolf b]

Wenn ich Äquivalenzketten per Hand schreibe, dann mache ich rechts neben eine Zeile einen senkrechten Strich und führe dahinter die Operation auf, die ich für den Übergang zum nächsten Schritt mache. Dann weiß der Leser, auf welche Änderung es hinausläuft. Fehlen diese Vermerke, kann es sinnvoll sein, sind mehr Schritte schon sinnvoll.

Wäre diese Schreibweise mit diesem Inline-TeX hier machbar? Ich hab davon GAR keine Ahnung; das, was ich oben geschrieben habe, habe ich aus euren Beiträgen zusammengeklaubt :)

Rolf

[Christian Kruse]

Hallo Rolf,

Wäre diese Schreibweise mit diesem Inline-TeX hier machbar? Ich hab davon GAR keine Ahnung; das, was ich oben geschrieben habe, habe ich aus euren Beiträgen zusammengeklaubt :)

$$ x * 4 = 12 \mid \div 4
x = 3 $$

LG,
CK

[Gunnar Bittersmann]

@@Christian Kruse

$$x * 4 = 12 \mid \div 4$$

Wo wir bei TeX sind: Was soll der Stern-Operator da? Das Malzeichen × ist in TeX \times; bei uns ist aber eher der Mittelpunkt · \cdot üblich. Und für die Division der Doppelpunkt : anstatt ÷.

$$x \cdot 4 = 12 \mid , : 4$$

LLAP 🖖

[Der Martin]

Hi,

$$x * 4 = 12 \mid \div 4$$

Wo wir bei TeX sind: Was soll der Stern-Operator da? Das Malzeichen × ist in TeX \times; bei uns ist aber eher der Mittelpunkt · \cdot üblich.

naja, üblich ist so eine Sache, das ist eine Frage der betrachteten Zielgruppe. In vielen (in den meisten?) Programmiersprachen ist der Stern das Symbol für Multiplikation, er wird aber immer häufiger auch außerhalb von Programmcode in der Bedeutung verwendet.

Und für die Division der Doppelpunkt : anstatt ÷.

Nein, bitte nicht der Doppelpunkt. Den haben unsere Mathelehrer am Gymnasium uns immer auszutreiben versucht. Das sei "Hausfrauenschreibweise"^[1], hieß es dann immer. Das bevorzugte Divisionszeichen sei der Bruchstrich; notfalls ein Schrägstrich (wenn's mit Text in einer Zeile stehen soll).

Das Symbol ÷ verwenden übrigens viele Ingenieure der Generation 60+ als Symbol für "von-bis", z.B. "Eingangsspannung 9÷18V=". Ob das früher mal in der Bedeutung üblich war? Keine Ahnung. Mein Vater tut das jedenfalls auch, und auch in seinen alten Vorlesungsscripten und Handnotizen taucht das häufig auf.

Ciao,
 Martin

---

1. Auch wenn genau daher die alte Faustregel "Punkt- vor Strichrechnung" kommt. ↩︎

[Matthias Apsel]

Hallo Der Martin,

Nein, bitte nicht der Doppelpunkt. Den haben unsere Mathelehrer am Gymnasium uns immer auszutreiben versucht. Das sei "Hausfrauenschreibweise", hieß es dann immer. Das bevorzugte Divisionszeichen sei der Bruchstrich; notfalls ein Schrägstrich (wenn's mit Text in einer Zeile stehen soll).

Ja, wenn es sich um einen Quotienten handelt ($$ 3 : 4$$ vs. $$\frac{3}{4}$$). Und dort ohne wenn und aber. „Schräge“ Bruchstriche sind bei mir nur in Baumdiagrammen erlaubt. Aber hinter dem Arbeitsstrich steht eben kein Quotient sondern eine Anweisung.

Bis demnächst
Matthias

[Rolf b]

Kannten eure Mathelehrer Leibnitz nicht? Der Divisionsdoppelpunkt ist durchaus üblich, zumindest habe ich ihn immer straflos verwendet. Kurzes Googlen findet z.B. dies, anders kenne ich es eigentlich gar nicht.

Aber vielleicht ist es ja regional verschieden (insbesondere vor '89: BRD vs DDR)?

Rolf

[Der Martin]

Hallo,

Kannten eure Mathelehrer Leibnitz nicht?

war das nicht der mit den 52 Zähnen? ;-)
Ach, und ohne 't', bitte.

Der Divisionsdoppelpunkt ist durchaus üblich, zumindest habe ich ihn immer straflos verwendet. Kurzes Googlen findet z.B. dies, anders kenne ich es eigentlich gar nicht.

Interessanterweise haben wir das in der Grundschule auch erst so gelernt, aber später am Gymnasium war der Doppelpunkt plötzlich "pfui".

Aber vielleicht ist es ja regional verschieden (insbesondere vor '89: BRD vs DDR)?

Kann ich mir gut vorstellen. Vielleicht sind solche Präferenzen sogar von Schule zu Schule verschieden.

Ciao,
 Martin

[MudGuard]

Hi,

Kann ich mir gut vorstellen. Vielleicht sind solche Präferenzen sogar von Schule zu Schule verschieden.

ich würd sogar noch weiter gehen: von Lehrer zu Lehrer.

cu,
Andreas a/k/a MudGuard

[Der Martin]

Hallo,

Kann ich mir gut vorstellen. Vielleicht sind solche Präferenzen sogar von Schule zu Schule verschieden.

ich würd sogar noch weiter gehen: von Lehrer zu Lehrer.

auch vorstellbar - aber Lehrer an derselben Schule tauschen sich meist untereinander aus und einigen sich (hoffentlich) auf eine gemeinsame Linie.

Aber dass du recht hast, merkt man als Schüler oft zu Beginn eines neuen Schuljahrs, wenn der neue Lehrer in Mathe (alternativ Physik, Deutsch, Musik, ...) plötzlich alles anders macht als sein Vorgänger im Schuljahr davor.

Ciao,
 Martin

[Gunnar Bittersmann]

@@Der Martin

Aber dass du recht hast, merkt man als Schüler oft zu Beginn eines neuen Schuljahrs, wenn der neue Lehrer in Mathe (alternativ Physik, Deutsch, Musik, ...) plötzlich alles anders macht als sein Vorgänger im Schuljahr davor.

Na, ganz anders kann es ja nicht sein. Es gibt ja schließlich Gesetze, an die sich die Lehrer halten müssen – die Naturgesetze. Zumindest die Mathelehrer, Physiklehrer und Musiklehrer. Die Deutschlehrer sind ein eigenes Kapitel.

LLAP 🖖

[Der Martin]

Hallo,

Aber dass du recht hast, merkt man als Schüler oft zu Beginn eines neuen Schuljahrs, wenn der neue Lehrer in Mathe (alternativ Physik, Deutsch, Musik, ...) plötzlich alles anders macht als sein Vorgänger im Schuljahr davor.

Na, ganz anders kann es ja nicht sein. Es gibt ja schließlich Gesetze, an die sich die Lehrer halten müssen – die Naturgesetze. Zumindest die Mathelehrer, Physiklehrer und Musiklehrer.

natürlich, aber bei den Formalismen und bevorzugten Lösungsansätzen unterscheiden sie sich doch erheblich. Und ... äh, Musiklehrer? Ja, Musik folgt im Prinzip auch naturwissenschaftlichen Gesetzen, aber mein Musikunterricht bestand, soweit ich mich erinnern kann, sogar in der Mittelstufe noch zu geschätzten 90% aus gemeinsamem Singen^[1] (und gelegentlichem Solo-Vorsingen). In Klasse 5 gab es ein bisschen Theorie - Notenschreibweise, Harmonielehre^[2] und sowas - und in Klasse 8 hat unsere Musiklehrerin uns mit Jazz gequält - eine Musikrichtung, die ich schon immer abscheulich fand. Aber die Theorie der Musik, die die Verbindung zur Naturwissenschaft herstellen würde, blieb fast völlig auf der Strecke.

Die Deutschlehrer sind ein eigenes Kapitel.

Wem sagst du das. In Klasse 5 und 6, wo Klassenarbeiten in Deutsch noch überwiegend Diktate und hin und wieder ein Lückentext waren (der das Grammatik-Verständnis zeigen sollte), war meine Deutschnote im Mittel so zwischen 1 und 2. Auch in Klasse 7 und 8, wo mehr und mehr Aufsätze dazukamen, konnte ich das Niveau noch halten. In der 9 hatten wir dann wieder einen anderen Deutschlehrer, und mein Schnitt sackte urplötzlich auf eine 4 ab.

So long,
 Martin

---

1. Musiklehrer (resignierend): Die Summe der Einzelleistungen ist überwältigend. Wenn wir es jetzt noch schaffen, miteinander zu singen und nicht gegeneinander, könnte es was werden. ↩︎

2. Das konnte meine damalige Musiklehrerin leider nie so erklären, dass ich es auch verstanden habe. Da wäre wieder die Querverbindung zur Naturwissenschaft (Akustik) hilfreich gewesen, aber das hatte sie nicht drauf. ↩︎

[Gunnar Bittersmann]

@@Der Martin

Und ... äh, Musiklehrer?

Quinten und so …

Da wäre wieder die Querverbindung zur Naturwissenschaft (Akustik) hilfreich gewesen, aber das hatte sie nicht drauf.

Hab ich’s drauf? Hat Esperanza Spalding es drauf? (ab 13:47)

LLAP 🖖

[Gunnar Bittersmann]

@@Der Martin

und in Klasse 8 hat unsere Musiklehrerin uns mit Jazz gequält - eine Musikrichtung, die ich schon immer abscheulich fand.

Fand ich früher auch mal. Heute sitze ich gern in meinem Frühstückscafé (wie jetzt gerade), eben weil da Jazz-Mugge läuft.

LLAP 🖖

[Christian Kruse]

Hallo Gunnar,

Die Deutschlehrer sind ein eigenes Kapitel.

+1 für den Sebastian-Krämer-Link! 👍

LG,
CK

[Rolf b]

Noch einen. Hab mich weggeschmissen :)

[Christian Kruse]

Hallo Rolf,

Noch einen. Hab mich weggeschmissen :)

Guck dir den Rest von ihm an, der Typ ist klasse!

LG,
CK

[Gunnar Bittersmann]

@@Christian Kruse

Guck dir den Rest von ihm an, der Typ ist klasse!

Ja. Ich hab den Typen lange nicht gesehen. (Mit „gesehen“ meine ich gesehen, nicht auf YouTube.)

Früher war das anders. Da hatten wir einmal im Monat denselben Nachhauseweg.

LLAP 🖖

[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf b

Noch einen. Hab mich weggeschmissen :)

Dann will ich dich mal nicht enttäuschen.

Ich könnte noch mehr, aber du wolltest ja nur einen.

LLAP 🖖

[Matthias Apsel]

Hallo MudGuard,

ich würd sogar noch weiter gehen: von Lehrer zu Lehrer.

Das ist in einigen Fällen sicher so. Zum Beispiel horizontales vs. vertikales Baumdiagramm.

Bei der Multiplikation reeller Zahlen lege ich jedoch meine Hand dafür ins Feuer, dass kein^W nur ein äußerst geringer Promillesatz in Deutschland ausgebildeter Mathematiklehrer an einer Schule in Deutschland den Stern^[1] oder das Kreuz als Rechenzeichen verwendet.

Und meine andere Hand halte ich in die Nähe des Feuers, was das Zeichen „÷“ betrifft. Da mag es vielleicht an berufsbildenden Schulen ganz anders aussehen.

Bis demnächst
Matthias

---

1. Wir lassen mal außen vor, dass es leider immer noch Lehrer, auch Mathematiklehrer, gibt, die mit dem Textverabreitungsprogramm ihrer Wahl nicht in ausreichendem Maße umgehen können. ↩︎

[Der Martin]

Hi,

ich würd sogar noch weiter gehen: von Lehrer zu Lehrer.

Das ist in einigen Fällen sicher so. Zum Beispiel horizontales vs. vertikales Baumdiagramm.

Bei der Multiplikation reeller Zahlen lege ich jedoch meine Hand dafür ins Feuer, dass kein^W nur ein äußerst geringer Promillesatz in Deutschland ausgebildeter Mathematiklehrer an einer Schule in Deutschland den Stern[^1] oder das Kreuz als Rechenzeichen verwendet.

bei Mathelehrern würde ich das auch nicht erwarten. Außerhalb der Schule, im wirklichen Leben, sieht das allerdings anders aus.

Und meine andere Hand halte ich in die Nähe des Feuers, was das Zeichen „÷“ betrifft. Da mag es vielleicht an berufsbildenden Schulen ganz anders aussehen.

Das ist mir auch in meiner Schulzeit nie begegnet (außer auf der Divisionstaste am Taschenrechner).

Ciao,
 Martin

[Gunnar Bittersmann]

@@Der Martin

In vielen (in den meisten?) Programmiersprachen ist der Stern das Symbol für Multiplikation, er wird aber immer häufiger auch außerhalb von Programmcode in der Bedeutung verwendet.

Letzteres würde ich verneinen. Es sei denn, von Programmierern.

Andere missbrauchen eher ein anderes Zeichen als Malzeichen und wollen einem ein x für ein × vormachen.

Das bevorzugte Divisionszeichen sei der Bruchstrich;

Zur Erinnerung: Division wird lange vor Bruchrechnung gelehrt.

notfalls ein Schrägstrich (wenn's mit Text in einer Zeile stehen soll).

Eine Quinte ist ein Frequenzverhältnis von 3/2? Oder doch 3 : 2?

LLAP 🖖

[Der Martin]

Hallo,

In vielen (in den meisten?) Programmiersprachen ist der Stern das Symbol für Multiplikation, er wird aber immer häufiger auch außerhalb von Programmcode in der Bedeutung verwendet.

Letzteres würde ich verneinen. Es sei denn, von Programmierern.

hauptsächlich von denen. Aber auch von anderen, die es nachmachen, weil sie "cool" sein wollen.

Andere missbrauchen eher ein anderes Zeichen als Malzeichen und wollen einem ein x für ein × vormachen.

Stimmt, auch das sieht man häufig.

Das bevorzugte Divisionszeichen sei der Bruchstrich;

Zur Erinnerung: Division wird lange vor Bruchrechnung gelehrt.

Was ist der Unterschied? Nein, es ist nicht dasselbe, aber die Division ist die elementare Operation, die der Bruchrechnung zugrundeliegt. Ich halte es daher nicht für sinnvoll, hier zu unterscheiden.

notfalls ein Schrägstrich (wenn's mit Text in einer Zeile stehen soll).

Eine Quinte ist ein Frequenzverhältnis von 3/2? Oder doch 3 : 2?

Ist für mich dasselbe.
Btw, nicht 3/2, sondern eigentlich $$ (\sqrt[12]{2})^7 $$, also ungefähr 1.49.

So long,
 Martin

[Gunnar Bittersmann]

@@Der Martin

Was ist der Unterschied [zwischen Division und Bruchrechnung]?. Ich halte es … nicht für sinnvoll, hier zu unterscheiden.

Ich auch nicht. Ich halte es auch nicht für sinnvoll, zwischen ':' und '/' (eigentlich '∕' U+2215) zu unterscheiden und das eine gut, das andere böse zu nennen.

[Quinte] nicht 3/2, sondern eigentlich $$ (\sqrt[12]{2})^7 $$, also ungefähr 1.49.

Eine reine · Quinte ist genau 3 : 2.

In der gleichstufigen Stimmung wird die Quinte durch $$2^{\frac{7}{12}}$$ angenähert.

LLAP 🖖

[1unitedpower]

Wo wir bei TeX sind: Was soll der Stern-Operator da? Das Malzeichen × ist in TeX \times; bei uns ist aber eher der Mittelpunkt · \cdot üblich. Und für die Division der Doppelpunkt : anstatt ÷.

$$x \cdot 4 = 12 \mid , : 4$$

Ich multipliziere dann gerne mit dem Kehrwert:

$$x \cdot 4 = 12 \mid , \cdot \frac{1}{4}$$

Aber es ist mir ziemlich egal, schließlich geht es dabei nur um Syntax nicht um Semantik.

[Matthias Apsel]

Hallo Rolf b,

dann mache ich rechts neben eine Zeile einen senkrechten Strich und führe dahinter die Operation auf, die ich für den Übergang zum nächsten Schritt mache.

Ich nenne ihn Arbeitsstrich.

$$ \begin{align} x \cdot 4 &= 12 \mid :4
x &= 3 \end{align} $$

Neben dem Arbeitsstrich steht, was ich auf beiden Seiten der (Un-)gleichung machen möchte.

Bis demnächst
Matthias

[Rolf b]

Danke an Christian und Matthias.

Zu der Debatte $$ * $$ vs $$\cdot$$ vs $$\times $$: Ich würde dem Problem ausweichen und $$4x$$ schreiben :)

[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf b

Zu der Debatte $$ * $$ vs $$\cdot$$ vs $$\times $$: Ich würde dem Problem ausweichen und $$4x$$ schreiben :)

In MathML aber bitte mit Operator:

<mrow>
  <mn>4</mn>
  <mo>&InvisibleTimes;</mo>
  <mi>x</mi>
</mrow>

LLAP 🖖

[Rolf b]

Urgh! Verbosity Hell! Ich würde auch MathML ausweichen wollen :-)))

(Ob ich es im konkreten Einzelfall KANN ist natürlich eine andere Frage...).

[Matthias Apsel]

Hallo Matthias Apsel,

Den beiden positiven Bewertungen entnehme ich, dass es Spaß gemacht hat. Nächstes Wochenende wieder?

Bis demnächst
Matthias

[Gunnar Bittersmann]

@@Matthias Apsel

Nächstes Wochenende wieder?

Wer auch zwischen den Wochenenden mathematische Knobelaufgaben haben möchte, sollte @Five_Triangles auf Twitter folgen. Da sind mitunter wirklich knifflige dabei.

LLAP 🖖

[Der-Dennis]

Hallo Matthias,

Den beiden positiven Bewertungen entnehme ich, dass es Spaß gemacht hat. Nächstes Wochenende wieder?

ich fände das super! Danke für das Rätsel.

Gruß
Dennis

[Gunnar Bittersmann]

@@Matthias Apsel

Beweisen Sie, dass für beliebige nicht negative Zahlen $$a$$, $$b$$, $$c$$ folgende Ungleichung gilt:

$$ a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc $$

Mit der Einschränkung auf nichtnegative Zahlen kann man das wunderschön ohne zu rechnen geometrisch beweisen:

Es sei o.B.d.A. a ≥ b ≥ c

Man schneidet von den Quadraten die jeweils überstehenden Streifen ab und schiebt sie nach oben. (Bei Gleichheit zweier Längen gibt es halt keinen Streifen.) Schon sieht man die zu beweisende Ungleichung erfüllt.

LLAP 🖖

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Mit der Einschränkung auf nichtnegative Zahlen kann man das wunderschön ohne zu rechnen geometrisch beweisen:

Man könnte denken, bei der Zeichnung bin ich stillschweigend von positiven Zahlen ausgegangen.

(Bei Gleichheit zweier Längen gibt es halt keinen Streifen.)

Bei einer Länge von 0 gibt es gar nicht erst das Quadrat.

Vielleicht muss man hier eine Fallunterscheidung machen, vielleicht aber auch nicht und man kann das in einen Satz so formulieren, dass er alle Fälle abdeckt.

LLAP 🖖

[pl]

Hallo alle,

Beweisen Sie, dass für beliebige nicht negative Zahlen $$a$$, $$b$$, $$c$$ folgende Ungleichung gilt:

$$ a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc $$

Wozu beweisen, ich glaubs Ihnen (Wilhelm Busch)