Mathematik zum Wochenende

[Der-Dennis]

Hallo Rolf,

Die Verdoppelung ist ziemlich schlau :)

finde ich auch :-) Ich bin da aber wie „die Jungfrau zum Kinde“ hin gekommen und die Idee werden bestimmt auch schon andere gehabt haben. Ich hab zuerst versucht das mit vollständiger Induktion zu lösen. Wie Matthias schon sagte kommt man damit aber überhaupt nicht weiter (wieder was gelernt!).

Danach hab ich's dann mehrfach mit den Fallunterscheidungen versucht (nachdem Matthias mir den Tipp gegeben hatte), bin aber kläglich daran gescheitert. Fall 1 ($$a=b=c$$) und Fall 2 ($$a=b\neq c$$) gingen noch problemlos. Bei Fall 3 ($$a\neq b\neq c$$) bin ich dann aber gar nicht mehr weiter gekommen. Entweder hab ich mich irgendwo verrechnet oder ich konnte nichts beweisen. Oder ich hab mal wieder bewiesen, dass $$1 \ge 1 $$ ist. Ich weiß nicht, wie oft ich das schon bewiesen habe, weil ich irgendwo Fehler gemacht habe… (Auch beliebt: $$0=0$$)

Bei einem (fehlerhaften) Versuch mit quadratischer Ergänzung oder wie das heißt war da aber auf einmal bei fast jeder Variable der Faktor 2 drin. Ich hab dann ganz stumpf einfach mal ausprobiert, was passiert, wenn ich alles mal zwei nehme. Die Zwei „musste“ ja rein, zumindest ging ich davon aus, weil die Aufgabe ja sehr nach Binomischem Lehrsatz aussah. Und konnte dann gar nicht glauben, dass da tatsächlich etwas Sinnvolles bei rauskommt :-)

Danach fand ich übrigens amüsant, dass ich mich zuvor geärgert hatte, weil ich in dem ersten Posting „also mit 2 multiplizieren“ geschrieben hatte. Sollte nämlich eigentlich heißen, dass ich vermute, da gehört irgendwo eine $$2$$ rein und das wahrscheinlich mittels einer Ergänzung, nicht einer Multiplikation. Ich konnte das Posting dann aber leider nicht mehr editieren. Das genau der Punkt aber eigentlich schon eine relativ elegante Lösung war, hab ich erst danach verstanden :-)

Da Du nicht quadrierst und nicht mit den Variablen multiplizierst, sehe ich ebenfalls keinen Grund, die Variablen auf die nichtnegativen reellen Zahlen zu beschränken. Vielleicht wollte der Aufgabensteller Panik vermeiden, denn wenn man nicht auf den Verdopplertrick kommt, dann fängt man die wilden Fallunterscheidungen mit positiv und negativ an.

Ja, das kann sehr gut sein! Ich stand jedenfalls kurz vor der Aufgabe, weil ich Fall 3 nicht hinbekommen habe.

Ich hab's gerade mit den vier Fällen $$ a = b = c $$, $$ a > b = c $$, $$ a = b > c $$ und $$ a > b > c $$ durchgerechnet. Fall 1 ist trivial, Fall 2 und Fall 3 laufen schnell auf $$ (a-b)^2\geq 0 $$ und $$(a-c)^2 \geq 0 $$ hinaus. Fall 4 habe ich dann so gerechnet:

$$ a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc $$
$$ \Longleftrightarrow a^2+b^2+c^2 -2ab-c^2 \geq ab+ac+bc -2ab-c^2 $$
$$ \Longleftrightarrow a^2-2ab + b^2 +c^2 -c^2 \geq ac-ab+bc -c^2 $$
$$ \Longleftrightarrow (a-b)^2 \geq a(c-b)+c(b -c) $$
$$ \Longleftrightarrow (a-b)^2 \geq a(c-b)-c(c -b) $$
$$ \Longleftrightarrow \underbrace{(a-b)^2}{\gt0} \geq \underbrace{(a-c)}{\gt0}\underbrace{(c-b)}_{\lt0} $$

Und jetzt steht links eine positive Zahl, rechts eine negative Zahl (weil a>c und b>c) und damit sind die vier Fälle bewiesen. Wenn man jetzt negative a,b,c, zulässt, wird es vermutlich auf ähnliche Rechnungen hinauslaufen, aber man muss eben alle 8 Kombinationen von negativ und nichtnegativ durchkauen.

Sehr schön! Danke! Jetzt seh ich auch, wie man das mit einer Fallunterscheidung hinbekommt. Ich hab zwar verschiedene Ergänzungen ausprobiert, auf diese Variante bin ich aber nicht gekommen!

Gruß
Dennis