Divisionsvereinfachung geht nicht

[Gunnar Bittersmann]

@@Matthias Apsel

Schließlich gibt es genauso viele Paare reeller Zahlen [a, b], für die a + b = a · b gilt, wie solche, für die das nicht gilt.

Wirklich? Vom saloppen mal abgesehen.

Wirklich wirklich.

MudGuard hat ja eben schon gezeigt, dass es für jedes a ≠ 1 genau ein b gibt, so dass a + b = a · b.

Die Mächtigkeit der Menge aller Paare reeller Zahlen [a, b], für die a + b = a · b gilt, d.h. die Mächtigkeit der Menge aller Paare [a, a/(a − 1)] mit a ≠ 1 ist also gleich der Mächtigkeit der Menge der reellen Zahlen ohne die Zahl 1. Das ist aber gleich der Mächtigkeit der Menge der reellen Zahlen.

|{[a, b]: a + b = a · b; a, b ∈ ℝ}| = |{[a, a/(a − 1)]: a ∈ ℝ; a ≠ 1}| = |ℝ \ {1}| = |ℝ|

Für a = 1 gilt für alle b: a + b ≠ a · b. Für a ≠ 1 gilt die Ungleichung für fast alle b, nämlich für alle außer b = a/(a − 1).

Die Mächtigkeit der Menge aller Paare reeller Zahlen [a, b], für die a + b ≠ a · b gilt, ist also gleich der Mächtigkeit der Vereinigung der Menge der reellen Zahlen (alle Paare [1, b]) und der Produktmenge der reellen Zahlen ohne die Zahl 1 mit den reellen Zahlen ohne eine Zahl (alle Paare [a, b] mit a ≠ 1 und b ≠ a/(a − 1))

|{[a, b]: a + b ≠ a · b; a, b ∈ ℝ}| = |{[1, b]: b ∈ ℝ} ∪ {[a, b]: a ≠ 1; b ≠ a/(a − 1); a, b ∈ ℝ}| = |ℝ ∪ (ℝ \ {1})²| = |ℝ ∪ ℝ²| = |ℝ²|

Nun ist aber |ℝ²| = |ℝ|. (Salopp gesagt: Es gibt gleich viele reelle Zahlen wie Paare reeller Zahlen.)

Also ist auch |{[a, b]: a + b ≠ a · b; a, b ∈ ℝ}| = |ℝ|

Salopp gesagt: Es gibt genauso viele Paare reeller Zahlen [a, b], für die a + b = a · b gilt, wie solche, für die das nicht gilt.

LLAP 🖖