Mathematik zum verspäteten Wochenanfang

[Gunnar Bittersmann]

Das größte reguläre Sechseck, das in ein Quadrat der Seitenlänge s passt, habe die Seitenlänge h.

Was gilt dann?

1. s < 2h
2. s = 2h
3. s > 2h
4. Das lässt sich nicht bestimmen.

LLAP 🖖

[JürgenB]

Hallo Gunnar,

1. s < 2h
2. s = 2h
3. s > 2h
4. Das lässt sich nicht bestimmen.

D naturlich, aus meiner Sicht 😀

Gruß
Jürgen

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Der Publikumsjoker hilft hier auch nicht wirklich weiter …

Der Telefonjoker sagt, D scheidet aus. 😜

Den 50:50 heben wir uns für später auf. Malen wir das mal auf. In das Quadrat legen wir den größtmöglichen Kreis (Radius ½s) und auf diesen ein reguläres Sechseck, und zwar listigerweise so, dass zwei seiner Eckpunkte auf einer Diagonalen des Quadrats liegen (blau). Dieses Sechseck hat die Kantenlänge h₀ = ½s und seine Eckpunkte liegen allesamt im Inneren des Quadrats.

Es geht also größer. Wir strecken das Sechseck um den Mittelpunkt, so dass die vier Eckpunkte, die nicht auf der Diagonalen liegen, auf dem Rand des Quadrates zu liegen kommen (rot). Die Kantenlänge h₁ dieses Sechsecks ist größer als ½s, s < 2h₁

A ist also richtig.

Der Clou hieran ist: wir wissen nicht, ob dieses Sechseck das größtmögliche ist. Müssen wir auch gar nicht. Wenn es ein noch größeres Sechseck mit h > h₁ gibt, dann gilt erst recht s < 2h₁ < 2h.

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Zusatzaufgabe: Untersuche, ob es ein solches größeres Sechseck gibt oder nicht, ob also h > h₁ oder h = h₁ gilt.

LLAP 🖖

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Zusatzaufgabe: Untersuche, ob es ein solches größeres Sechseck gibt oder nicht, ob also h > h₁ oder h = h₁ gilt.

Aus Symmetriegründen muss das größtmögliche Sechseck so liegen, dass sein Mittelpunkt mit dem des Quadrats zusammenfällt.

Wir gehen von einem Sechseck der Kantenlänge ½s aus, dessen Eckpunkte auf dem Inkreis mit dem Radius r = ½s liegen. Wir legen es anfangs so, dass zwei Eckpunkte auf den Mittelpunkten zweier Quadratseiten liegen:

Man kann das Sechseck nun um den Mittelpunkt drehen, dabei bleiben seine Eckpunkte auf dem Kreis. Nach 60° sieht es aus wie am Anfang. Wir müssen also nicht Drehwinkel von 0° bis 360° betrachten, sondern nur einen Bereich von 0° bis 60°. Oder von −30° bis 30°. Bei einem negativen Drehwinkel −ϕ sieht die Figur genauso aus wie um +ϕ gedreht und an der Achse gespiegelt. Wir müssen o.B.d.A. also nur ϕ im Bereich 0° bis 30° betrachten.

Wenn wir das Sechseck um ϕ drehen, ergibt sich folgendes Bild:

Den Faktor, um den das Sechseck noch um den Mittelpunkt gestreckt werden kann, wird von dem am nächsten zum Quadrat liegenden Eckpunkt bestimmt. Aus Symmentriegründen genügt die Betrachtung dreier Punkte A, B, C. Im betrachten Bereich für ϕ ist C stets der am weitesten vom Quadrat entfernteste der Punkte, spielt also im Weiteren keine Rolle.

Die Schnittpunkt von OA mit dem Quadrat sei P, der Schnittpunkt von OB mit dem Quadrat sei Q.

Der Faktor, um den das Sechseck gestreckt werden kann, wenn A der am nächsten zum Quadrat liegenden Eckpunkt ist, ist $$k_A = \frac{OP}{OA}$$.
Der Faktor, um den das Sechseck gestreckt werden kann, wenn B der am nächsten zum Quadrat liegenden Eckpunkt ist, ist $$k_B = \frac{OQ}{OB}$$.
Der Faktor k, um den das Sechseck tatsächlich gestreckt werden kann, ist der kleinere der beiden Werte, $$k = \min\left( k_A, k_B \right)$$.
Davon suchen wir das größtmögliche k.

Durch die Beziehungen in rechtwinkligen Dreiecken ergibt sich:

$$\begin{align}\cos \varphi &= \frac{r}{OP} = \frac{1}{k_A}
\cos \left(30°-\varphi\right) &= \frac{r}{OQ} = \frac{1}{k_B}\end{align}$$

Bei den Kehrwerten suchen wir das kleinstmögliche $$\frac{1}{k} = \max\left( \frac{1}{k_A}, \frac{1}{k_B} \right) = \max\left( \cos \varphi, \cos \left(30°-\varphi\right) \right)$$.

Dazu schauen wir uns den Verlauf der Funktionen cos ϕ und cos(30° − ϕ) an:

Der kleinstmögliche Wert für 1/k (also der größtmögliche für k) ist dort, wo sich die Funktionsgraphen kreuzen – bei ϕ = 15°. Dann liegen A und B symmetrisch zu einer der Diagonalen des Quadrats, C liegt auf der anderen.

Die im vorherigen Posting beschriebene Anordnung ergibt also tatsächlich das größtmögliche Sechseck.

LLAP 🖖