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Mathematik zum Wochenende
Gunnar Bittersmann
Mathematik zum Wochenende
Gunnar Bittersmann
FriedelWo nun alle Adventkalendertüren offenstehen (ich hab immer noch ein paar Aufgaben nicht raus) und aller Glühwein mit Punsch vermischt und getrunken ist, da hab ich ein Würfelspiel für euch:
Würfel ABCDEFGH, P Mittelpunkt von DF. Wie groß ist das Volumen des Tetraeders PDEG im Verhälnis zum Würfel?
LLAP 🖖
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“When UX doesn’t consider all users, shouldn’t it be known as ‘Some User Experience’ or... SUX? #a11y” —Billy Gregory
“When UX doesn’t consider all users, shouldn’t it be known as ‘Some User Experience’ or... SUX? #a11y” —Billy Gregory
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Hallo,
eine schöne Aufgabe, die ich bisher nicht kannte 😀. Soll man hier offen eine Lösung posten, oder wie ist das gedacht? Spoiler oder sowas gibt es hier ja wohl nicht.
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@@Friedel
eine schöne Aufgabe, die ich bisher nicht kannte 😀. Soll man hier offen eine Lösung posten, oder wie ist das gedacht?
Erst wenn das Wochenende vorbei ist! Du kann deine Lösung auch an mich schicken(„Autor kontaktieren“).
LLAP 🖖
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“When UX doesn’t consider all users, shouldn’t it be known as ‘Some User Experience’ or... SUX? #a11y” —Billy Gregory
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@@Gunnar Bittersmann
Als Mittelpunkt einer Raumdiagonalen ist P natürlich Mittelpunkt des Würfels.
Zum Rechnen legen wir den Würfel so in ein Koordinatensystem, dass H im Ursprung liegt, E bei 1 auf der x-Achse, G bei 1 auf der y-Achse, D bei 1 auf der z-Achse. P ist (½, ½, ½).
Wir bestimmen den Schnittpunkt L der Raumdiagonalen HB mit der Ebene DEG. Das geht wohl am einfachsten über die Ebenengleichung x + y + z − 1 = 0 und x = y = z für alle Punkte der Geraden HB, wie @ottogal es gemacht hatte. (Ich hatte es über Vektoren gemacht.) L ist (⅓, ⅓, ⅓).
LP = ⅙√3, das ist die Höhe des Tetraeders PDEG. Dessen Grundfläche ist ein gleichseitiges Dreieck mit Kantenlänge √2, also mit Flächeninhalt ½√3.
Daraus ergibt sich das Volumendes Tetraeders PDEG zu ⅟₁₂.
Aber will man rechnen? Nein! @Friedel zeigt, wie’s ohne groß zu rechnen geht:
Der Tetraeder PDEG ist genau so groß wie die Tetraeder PBDG, PBDE und PBEG. Zusammen ergeben sie den Tetraeder DGEB. Die Tetraeder HDEG, CBDG, ABDE und FBEG sind auch gleichgroß. Zusammen mit DGEB ergeben sie den Würfel.
HDEG, CBDG, ABDE und FBEG haben jeweils ⅙ des Würfelvolumens. DGEB hat also das Volumen 1 − 4 ⋅ ⅙ = ⅓. Und ¼ davon ist ⅟₁₂.
Chapeau!
LLAP 🖖
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Einigermaßen anschaulich wird es imho mit dem Geoknecht. Der vorgegebene Tetraeder entspricht dem blauen im Geoknecht. Zusammen mit dem grünen, dem violetten und dem roten Tetraeder ergeben sie den Tetraeder DGEB, der zusammen mir den 4 grauen Tetraedern den Würfel ergibt.
