Lösung
bearbeitet von Gunnar Bittersmann@@Gunnar Bittersmann
> So, die wären dann auch weg. Es geht komplett ohne Wurzeln. Sag ich doch.
Und zwar so:
Sei __*a* = *AB* = *BC*__{: style="font-weight: inherit; white-space: nowrap"} die Seitenlänge das Achtecks; __*b* = *KA* = *KB*__{: style="font-weight: inherit; white-space: nowrap"} wie in meiner nicht so einfachen Lösung im anderen Thread. Der Radius des Kreises sei __*r* = *KC* = *KS*__{: style="font-weight: inherit; white-space: nowrap"}; der Streckenabschnitt __*x* = *BS*__{: style="font-weight: inherit; white-space: nowrap"}.
![Skizze](/images/0c823f25-e7d8-469f-b40e-4f3189fc0b73.png)
Pythagoras im Dreieck *BAK*: __*a*² = 2*b*²__{: style="white-space: nowrap"}, also __*b*² = ½*a*²__{: style="white-space: nowrap"} (1)
Pythagoras im Dreieck *KCB*: __*r*² = *a*² + *b*² = ³⁄₂*a*²__{: style="white-space: nowrap"} (2)
Cosinussatz im Dreieck *KSB*: __*r*² = *b*² + *x*² − 2*bx* cos 135°__{: style="white-space: nowrap"}
Jetzt könnten wir __*b* = ½*a*√2__{: style="white-space: nowrap"} und __cos 135° = −½√2__{: style="white-space: nowrap"} einsetzen und kämen direkt zu (4), aber wir wollen ja keine Wurzeln.
Also anders: __cos 135°__{: style="white-space: nowrap"} __=__ __−cos (180° − 135°)__{: style="white-space: nowrap"} __=__ __−cos 45°__{: style="white-space: nowrap"}, somit __*r*² = *b*² + *x*² + 2*bx* cos 45°__{: style="white-space: nowrap"} (3)
Cosinussatz im Dreieck *BAK*, diesmal nicht für den rechten Winkel (Pythagoras ist ja ein Spezialfall des Cosinussatzes), sondern für einen der anderen: __*b*² = *a*² + *b*² − 2*ab* cos 45°__{: style="white-space: nowrap"}, somit __*a*² = 2*ab* cos 45°__{: style="white-space: nowrap"}, also __2*b* cos 45° = *a*__{: style="white-space: nowrap"}
Das in (3) eingesetzt: __*r*² = *b*² + *x*² + *ax*__{: style="white-space: nowrap"} (4); mit (1) und (2): __³⁄₂*a*² = ½*a*² + *x*²+ *ax*__{: style="white-space: nowrap"}, also __*a*² = *x*²+ *ax*__{: style="white-space: nowrap"}
Geteilt durch *ax* ergibt: __*a* : *x* = (*x* + *a*) : *a*__{: style="white-space: nowrap"}. Da isser, der goldene Schnitt.
LLAP 🖖
--
“When UX doesn’t consider *all* users, shouldn’t it be known as ‘*Some* User Experience’ or... SUX? #a11y” —[Billy Gregory](https://twitter.com/thebillygregory/status/552466012713783297)
Lösung
bearbeitet von Gunnar Bittersmann@@Gunnar Bittersmann
> So, die wären dann auch weg. Es geht komplett ohne Wurzeln. Sag ich doch.
Und zwar so:
Sei __*a* = *AB* = *BC*__{: style="font-weight: inherit; white-space: nowrap"} die Seitenlänge das Achtecks; __*b* = *KA* = *KB*__{: style="font-weight: inherit; white-space: nowrap"} wie in meiner nicht so einfachen Lösung im anderen Thread. Der Radius des Kreises sei __*r* = *KC* = *KS*__{: style="font-weight: inherit; white-space: nowrap"}; der Streckenabschnitt __*x* = *BS*__{: style="font-weight: inherit; white-space: nowrap"}.
![Skizze](/images/0c823f25-e7d8-469f-b40e-4f3189fc0b73.png)
Pythagoras im Dreieck *BAK*: __*a*² = 2*b*²__{: style="white-space: nowrap"}, also __*b*² = ½*a*²__{: style="white-space: nowrap"} (1)
Pythagoras im Dreieck *KCB*: __*r*² = *a*² + *b*² = ³⁄₂*a*²__{: style="white-space: nowrap"} (2)
Cosinussatz im Dreieck *KSB*: __*r*² = *b*² + *x*² − 2*bx* cos 135°__{: style="white-space: nowrap"}
Jetzt könnten wir __*b* = ½*a*√2__{: style="white-space: nowrap"} und __cos 135° = −½√2__{: style="white-space: nowrap"} einsetzen, aber wir wollen ja keine Wurzeln.
Also anders: __cos 135°__{: style="white-space: nowrap"} __=__ __−cos (180° − 135°)__{: style="white-space: nowrap"} __=__ __−cos 45°__{: style="white-space: nowrap"}, somit __*r*² = *b*² + *x*² + 2*bx* cos 45°__{: style="white-space: nowrap"} (3)
Cosinussatz im Dreieck *BAK*, diesmal nicht für den rechten Winkel (Pythagoras ist ja ein Spezialfall des Cosinussatzes), sondern für einen der anderen: __*b*² = *a*² + *b*² − 2*ab* cos 45°__{: style="white-space: nowrap"}, somit __*a*² = 2*ab* cos 45°__{: style="white-space: nowrap"}, also __2*b* cos 45° = *a*__{: style="white-space: nowrap"}
Das in (3) eingesetzt: __*r*² = *b*² + *x*² + *ax*__{: style="white-space: nowrap"}, mit (1) und (2): __³⁄₂*a*² = ½*a*² + *x*²+ *ax*__{: style="white-space: nowrap"}, also __*a*² = *x*²+ *ax*__{: style="white-space: nowrap"}
Geteilt durch *ax* ergibt: __*a* : *x* = (*x* + *a*) : *a*__{: style="white-space: nowrap"}. Da isser, der goldene Schnitt.
LLAP 🖖
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“When UX doesn’t consider *all* users, shouldn’t it be known as ‘*Some* User Experience’ or... SUX? #a11y” —[Billy Gregory](https://twitter.com/thebillygregory/status/552466012713783297)
Nochmal das reguläre Achteck
bearbeitet von Gunnar Bittersmann@@Gunnar Bittersmann
> So, die wären dann auch weg. Es geht komplett ohne Wurzeln. Sag ich doch.
Und zwar so:
Sei __*a* = *AB* = *BC*__{: style="font-weight: inherit; white-space: nowrap"} die Seitenlänge das Achtecks; __*b* = *KA* = *KB*__{: style="font-weight: inherit; white-space: nowrap"} wie in meiner nicht so einfachen Lösung im anderen Thread. Der Radius des Kreises sei __*r* = *KC* = *KS*__{: style="font-weight: inherit; white-space: nowrap"}; der Streckenabschnitt __*x* = *BS*__{: style="font-weight: inherit; white-space: nowrap"}.
![Skizze](/images/0c823f25-e7d8-469f-b40e-4f3189fc0b73.png)
Pythagoras im Dreieck *BAK*: __*a*² = 2*b*²__{: style="white-space: nowrap"}, also __*b*² = ½*a*²__{: style="white-space: nowrap"} (1)
Pythagoras im Dreieck *KCB*: __*r*² = *a*² + *b*² = ³⁄₂*a*²__{: style="white-space: nowrap"} (2)
Cosinussatz im Dreieck *KSB*: __*r*² = *b*² + *x*² − 2*bx* cos 135°__{: style="white-space: nowrap"}
Jetzt könnten wir __*b* = ½*a*√2__{: style="white-space: nowrap"} und __cos 135° = −½√2__{: style="white-space: nowrap"} einsetzen, aber wir wollen ja keine Wurzeln.
Also anders: __cos 135°__{: style="white-space: nowrap"} __=__ __−cos (180° − 135°)__{: style="white-space: nowrap"} __=__ __−cos 45°__{: style="white-space: nowrap"}, somit __*r*² = *b*² + *x*² + 2*bx* cos 45°__{: style="white-space: nowrap"} (3)
Cosinussatz im Dreieck *BAK*, diesmal nicht für den rechten Winkel (Pythagoras ist ja ein Spezialfall des Cosinussatzes), sondern für einen der anderen: __*b*² = *a*² + *b*² − 2*ab* cos 45°__{: style="white-space: nowrap"}, somit __*a*² = 2*ab* cos 45°__{: style="white-space: nowrap"}, also __2*b* cos 45° = *a*__{: style="white-space: nowrap"}
Das in (3) eingesetzt: __*r*² = *b*² + *x*² + *ax*__{: style="white-space: nowrap"}, mit (1) und (2): __³⁄₂*a*² = ½*a*² + *x*²+ *ax*__{: style="white-space: nowrap"}, also __*a*² = *x*²+ *ax*__{: style="white-space: nowrap"}
Geteilt durch *ax* ergibt: __*a* : *x* = (*x* + *a*) : *a*__{: style="white-space: nowrap"}. Da isser, der goldene Schnitt.
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Nochmal das reguläre Achteck
bearbeitet von Gunnar Bittersmann@@Gunnar Bittersmann
> So, die wären dann auch weg. Es geht komplett ohne Wurzeln. Sag ich doch.
Und zwar so:
Sei __*a* = *AB*__{: style="font-weight: inherit; white-space: nowrap"} die Seitenlänge das Achtecks; __*b* = *KB*__{: style="font-weight: inherit; white-space: nowrap"} wie in meiner nicht so einfachen Lösung im anderen Thread. Der Radius des Kreises sei __*r* = *KC* = *KS*__{: style="font-weight: inherit; white-space: nowrap"}; der Streckenabschnitt __*x* = *BS*__{: style="font-weight: inherit; white-space: nowrap"}.
![Skizze](/images/bc5e988f-ee14-410f-b5bc-8dcb12cb67ac.png)
Pythagoras im Dreieck *BAK*: __*a*² = 2*b*²__{: style="white-space: nowrap"}, also __*b*² = ½*a*²__{: style="white-space: nowrap"} (1)
Pythagoras im Dreieck *KCB*: __*r*² = *a*² + *b*² = ³⁄₂*a*²__{: style="white-space: nowrap"} (2)
Cosinussatz im Dreieck *KSB*: __*r*² = *b*² + *x*² − 2*bx* cos 135°__{: style="white-space: nowrap"}
Jetzt könnten wir __*b* = ½*a*√2__{: style="white-space: nowrap"} und __cos 135° = −½√2__{: style="white-space: nowrap"} einsetzen, aber wir wollen ja keine Wurzeln.
Also anders: __cos 135°__{: style="white-space: nowrap"} __=__ __−cos (180° − 135°)__{: style="white-space: nowrap"} __=__ __−cos 45°__{: style="white-space: nowrap"}, somit __*r*² = *b*² + *x*² + 2*bx* cos 45°__{: style="white-space: nowrap"} (3)
Cosinussatz im Dreieck *BAK*, diesmal nicht für den rechten Winkel (Pythagoras ist ja ein Spezialfall des Cosinussatzes), sondern für einen der anderen: __*b*² = *a*² + *b*² − 2*ab* cos 45°__{: style="white-space: nowrap"}, somit __*a*² = 2*ab* cos 45°__{: style="white-space: nowrap"}, also __2*b* cos 45° = *a*__{: style="white-space: nowrap"}
Das in (3) eingesetzt: __*r*² = *b*² + *x*² + *ax*__{: style="white-space: nowrap"}, mit (1) und (2): __³⁄₂*a*² = ½*a*² + *x*²+ *ax*__{: style="white-space: nowrap"}, also __*a*² = *x*²+ *ax*__{: style="white-space: nowrap"}
Geteilt durch *ax* ergibt: __*a* : *x* = (*x* + *a*) : *a*__{: style="white-space: nowrap"}. Da isser, der goldene Schnitt.
LLAP 🖖
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“When UX doesn’t consider *all* users, shouldn’t it be known as ‘*Some* User Experience’ or... SUX? #a11y” —[Billy Gregory](https://twitter.com/thebillygregory/status/552466012713783297)