Lösung

[ottogal]

Hallo Gunnar,

schön gemacht. Konsequentes Beibehalten der Variablen vermeidet die Wurzeln - pfiffig. (Ich hatte oBdA b = 1 angenommen und hinfort mit Wurzeln zu rechnen, x als einzige Variable.)

Die Herleitung von 2b cos 45° = a kann man einfacher ohne Bemühung des Cosinus-Satzes bekommen: Verdoppelt man das Dreieck BAK, ist es schlicht die Definition des Cosinus.

Hier noch meine Lösung (freilich mit Wurzeln):

OBdA sei KB = 1. Mit Pythagoras folgt AB = √2 und KC = √3.

Seien U und V die Endpunkte des horizontalen Kreisdurchmessers.

Es gilt der Sehnensatz: BS·BT = BU·BV (als Folge der Ähnlichkeit der Dreiecke BSV und BUT), d.h. x·(x+√2) = (√3+1)·(√3-1)

Das ergibt die quadratische Gleichung x² + √2x - 2 = 0; deren postive Lösung ist x = (√5-1)/√2.

Daraus folgt AS/AB = (x+√2)/√2 = x/√2 + 1 = (√5-1)/2 + 1 = (√5+1)/2, das ist die "Goldene Zahl".

Viele Grüße

ottogal