Hallo ottogal,
kleine Typos:
Der obere „Halbkreis“ der Torte hat die Gleichung
$$ g(x) = \sqrt{ r^2 \pm x^2 } + d \cdot r $$
$$ g(x) = \sqrt{ r^2 - x^2 } + d \cdot r $$
Minus für das kleinste Tortenstück, Plus für das größte.
$$ \int_0^{x_s} (g(x)-h(x)),\mathrm dx $$
Stimmt.
Man kann sich die mühsame Integration sparen, wenn man das (größtmögliche) Tortenstück als Summe einer Sektorfläche und einer Dreiecksfläche ermittelt:
Mit Technik ist da nichts mehr mühsam.
kleine Typos: ;-)
$$Sektor$$ = $${ 1\over 2}{\alpha} *r^2$$ = $${ 1\over 2} * {\arcsin{x_s \over r}}*r^2 = { 1\over 2} * {\arcsin{{}\sqrt{3} d + \sqrt{4 - d^2} \over 4}}*r^2$$
$$Sektor = { 1\over 2}{\alpha} \cdot r^2$$ = $${ 1\over 2} \cdot {\arcsin{x_s \over r}} \cdot r^2 = { 1\over 2} \cdot {\arcsin{{}\sqrt{3} d + \sqrt{4 - d^2} \over 4}} \cdot r^2$$.
$$Dreieck = {1 \over 2}drx_s = {1 \over 2}d*{{}\sqrt{3} d + \sqrt{4 - d^2} \over 4}*r^2$$.
$$Dreieck = {1 \over 2}d \cdot r \cdot x_s = {1 \over 2}d \cdot {{}\sqrt{3} d + \sqrt{4 - d^2} \over 4} \cdot r^2$$
usw.
Bis demnächst
Matthias