Mathematik zum Monatsende - Beweis für einen Spezialfall

[Matthias Apsel]

Hallo Matthias Apsel,

Ein Beweis, wenn eine Sehne Durchmesser ist:

Die Peripheriewinkel bei C und D sind rechte Winkel (Satz des Thales), damit sind die Diagonalen Höhen im Dreieck ABS₁.

S₂ ist also das Orthozentrum dieses Dreiecks.

Damit steht die Gerade, auf der die Punkte S₁, S₂, T₁ und T₂ liegen, senkrecht auf AB. (sie ist die dritte Höhe)

Wegen der Symmetrie ist das Dreieck PT₁T₂ gleichschenklig. Das ist schon mal ein gutes Zeichen dafür, dass T₁ und T₂ tatsächlich die Berührungspunkte sind.

Weiter im Text.

Das Dreieck T₂MA ist gleichschenklig. In A wird die Senkrechte errichtet, der Winkel bei M wird halbiert. Es entstehen die kongruenten Dreiecke HMA und MHT₂. (sie haben die Seite MH gemeinsam, eine weitere Strecke ist der Radius des Kreises, zudem ist der Winkel bei M halbiert worden, Kongruenzsatz SWS)

Damit ist der Winkel bei T₂ ebenfalls ein rechter und T₂ somit Berührungspunkt der Tangente.

Wegen der Gleichschenkligkeit von PT₁T₂ ist auch T₁ Berührungspunkt der zweiten Tangente.

Bis demnächst
Matthias