Mathematik zu Pfingsten
bearbeitet von Gunnar Bittersmann@@Matthias Apsel
So hab ich’s gemacht: Dreieck so in Koordinatensystem, dass die Eckpunkte *A*(−1, 0), *B*(1, 0) und *C*(0, √3) sind; der gesuchte Punkt ist *P*(0, *a*).
![Skizze](/images/8eab12a9-293a-48d3-865d-359e45bae65a.jpeg?size=medium)
Die Gerade *AP* hat die Gleichung *y* = (1 + *x*) *a*.
Die Gerade *BC* hat die Gleichung *y* = (1 − *x*) √3.
Ermittlung des Flächeninhalts des Drachenvierecks über die *x*-Koordinate des Schnittpunkts der beiden Geraden:
$$\begin{align} \left( 1 + x\right ) a &= \left( 1 + x \right) \sqrt 3 \\ x &= \frac{\sqrt 3 - a}{\sqrt 3 + a} \end{align}$$
$$A_{\text{Drachen}} = \left( \sqrt 3 - a \right) x = \frac{\left( \sqrt 3 - a \right)^2}{\sqrt 3 + a}$$
Wir bestimmen nun *a* so, dass der Flächeninhalt des Drachenvierecks ein Drittel des Flächeninhalts des Dreiecks *ABP* (welcher *a* beträgt) ist:
$$\begin{align} \frac{\left( \sqrt 3 - a \right)^2}{\sqrt 3 + a} &= \frac{a}{3} \\ \tfrac{9}{2} - \tfrac{7}{2} \sqrt 3 \, a + a^2 &= 0 \\ a &= \tfrac{1}{2} \sqrt 3 \end{align}$$
(Die andere Lösung der quadratischen Gleichung entfällt, da der Punkt außerhalb des Dreiecks *ABC* wäre.)
Es ist also $$A_{ABC} = \sqrt 3$$ und $$A_{ABP} = \tfrac{1}{2} \sqrt 3$$ und $$A_{\text{Drachen}} = \tfrac{1}{6} \sqrt 3$$.
Jetzt ist noch zu prüfen, ob die beiden seitlichen Dreiecke ebensogroß wie das Drachenviereck sind. Deren Flächeninhalt ergibt sich aus
$$\tfrac{1}{2} \left( A_{ABC} - A_{ABP} - A_{\text{Drachen}} \right) = \tfrac{1}{2} \left( \sqrt 3 - \tfrac{1}{2} \sqrt 3 - \tfrac{1}{6} \sqrt 3 \right) = \tfrac{1}{6} \sqrt 3$$
---
Ich hatte micht auch gefragt: Und wie geht’s nun geometrisch, ohne Rechnen? [Rolf b](https://forum.selfhtml.org/self/2017/jun/4/mathematik-zu-pfingsten/1695892#m1695892) lässt mich vor Scham in den Erdboden versinken.
LLAP 🖖
--
“When UX doesn’t consider *all* users, shouldn’t it be known as ‘*Some* User Experience’ or... SUX? #a11y” —[Billy Gregory](https://twitter.com/thebillygregory/status/552466012713783297)
Mathematik zu Pfingsten
bearbeitet von Gunnar Bittersmann@@Matthias Apsel
So hab ich’s gemacht: Dreieck so in Koordinatensystem, dass die Eckpunkte *A*(−1, 0), *B*(1, 0) und *C*(0, √3) sind; der gesuchte Punkt ist *P*(0, *a*).
[![Skizze](/images/8eab12a9-293a-48d3-865d-359e45bae65a.jpeg?size=medium)]()
Die Gerade *AP* hat die Gleichung *y* = (1 + *x*) *a*.
Die Gerade *BC* hat die Gleichung *y* = (1 − *x*) √3.
Ermittlung des Flächeninhalts des Drachenvierecks über die *x*-Koordinate des Schnittpunkts der beiden Geraden:
$$\begin{align} \left( 1 + x\right ) a &= \left( 1 + x \right) \sqrt 3 \\ x &= \frac{\sqrt 3 - a}{\sqrt 3 + a} \end{align}$$
$$A_{\text{Drachen}} = \left( \sqrt 3 - a \right) x = \frac{\left( \sqrt 3 - a \right)^2}{\sqrt 3 + a}$$
Wir bestimmen nun *a* so, dass der Flächeninhalt des Drachenvierecks ein Drittel des Flächeninhalts des Dreiecks *ABP* (welcher *a* beträgt) ist:
$$\begin{align} \frac{\left( \sqrt 3 - a \right)^2}{\sqrt 3 + a} &= \frac{a}{3} \\ \tfrac{9}{2} - \tfrac{7}{2} \sqrt 3 \, a + a^2 &= 0 \\ a &= \tfrac{1}{2} \sqrt 3 \end{align}$$
(Die andere Lösung der quadratischen Gleichung entfällt, da der Punkt außerhalb des Dreiecks *ABC* wäre.)
Es ist also $$A_{ABC} = \sqrt 3$$ und $$A_{ABP} = \tfrac{1}{2} \sqrt 3$$ und $$A_{\text{Drachen}} = \tfrac{1}{6} \sqrt 3$$.
Jetzt ist noch zu prüfen, ob die beiden seitlichen Dreiecke ebensogroß wie das Drachenviereck sind. Deren Flächeninhalt ergibt sich aus
$$\tfrac{1}{2} \left( A_{ABC} - A_{ABP} - A_{\text{Drachen}} \right) = \tfrac{1}{2} \left( \sqrt 3 - \tfrac{1}{2} \sqrt 3 - \tfrac{1}{6} \sqrt 3 \right) = \tfrac{1}{6} \sqrt 3$$
---
Ich hatte micht auch gefragt: Und wie geht’s nun geometrisch, ohne Rechnen? [Rolf b](https://forum.selfhtml.org/self/2017/jun/4/mathematik-zu-pfingsten/1695892#m1695892) lässt mich vor Scham in den Erdboden versinken.
LLAP 🖖
--
“When UX doesn’t consider *all* users, shouldn’t it be known as ‘*Some* User Experience’ or... SUX? #a11y” —[Billy Gregory](https://twitter.com/thebillygregory/status/552466012713783297)
Mathematik zu Pfingsten
bearbeitet von Gunnar Bittersmann@@Matthias Apsel
So hab ich’s gemacht: Dreieck so in Koordinatensystem, dass die Eckpunkte *A*(−1, 0), *B*(1, 0) und *C*(0, √3) sind; der gesuchte Punkt ist *P*(0, *a*).
[![Skizze](/images/8eab12a9-293a-48d3-865d-359e45bae65a.jpeg?size=medium)](/images/8eab12a9-293a-48d3-865d-359e45bae65a.jpeg)
Die Gerade *AP* hat die Gleichung *y* = (1 + *x*) *a*.
Die Gerade *BC* hat die Gleichung *y* = (1 − *x*) √3.
Ermittlung des Flächeninhalts des Drachenvierecks über die *x*-Koordinate des Schnittpunkts der beiden Geraden:
$$\begin{align} \left( 1 + x\right ) a &= \left( 1 + x \right) \sqrt 3 \\ x &= \frac{\sqrt 3 - a}{\sqrt 3 + a} \end{align}$$
$$A_{\text{Drachen}} = \left( \sqrt 3 - a \right) x = \frac{\left( \sqrt 3 - a \right)^2}{\sqrt 3 + a}$$
Wir bestimmen nun *a* so, dass der Flächeninhalt des Drachenvierecks ein Drittel des Flächeninhalts des Dreiecks *ABP* (welcher *a* beträgt) ist:
$$\begin{align} \frac{\left( \sqrt 3 - a \right)^2}{\sqrt 3 + a} &= \frac{a}{3} \\ \tfrac{9}{2} - \tfrac{7}{2} \sqrt 3 \, a + a^2 &= 0 \\ a &= \tfrac{1}{2} \sqrt 3 \end{align}$$
(Die andere Lösung der quadratischen Gleichung entfällt, da der Punkt außerhalb des Dreiecks *ABC* wäre.)
Es ist also $$A_{ABC} = \sqrt 3$$ und $$A_{ABP} = \tfrac{1}{2} \sqrt 3$$ und $$A_{\text{Drachen}} = \tfrac{1}{6} \sqrt 3$$.
Jetzt ist noch zu prüfen, ob die beiden seitlichen Dreiecke ebensogroß wie das Drachenviereck sind. Deren Flächeninhalt ergibt sich aus
$$\tfrac{1}{2} \left( A_{ABC} - A_{ABP} - A_{\text{Drachen}} \right) = \tfrac{1}{2} \left( \sqrt 3 - \tfrac{1}{2} \sqrt 3 - \tfrac{1}{6} \sqrt 3 \right) = \tfrac{1}{6} \sqrt 3$$
---
Ich hatte micht auch gefragt: Und wie geht’s nun geometrisch, ohne Rechnen? [Rolf b](https://forum.selfhtml.org/self/2017/jun/4/mathematik-zu-pfingsten/1695892#m1695892) lässt mich vor Scham in den Erdboden versinken.
LLAP 🖖
--
“When UX doesn’t consider *all* users, shouldn’t it be known as ‘*Some* User Experience’ or... SUX? #a11y” —[Billy Gregory](https://twitter.com/thebillygregory/status/552466012713783297)
Mathematik zu Pfingsten
bearbeitet von Gunnar Bittersmann@@Matthias Apsel
So hab ich’s gemacht: Dreieck so in Koordinatensystem, dass die Eckpunkte *A*(−1, 0), *B*(1, 0) und *C*(0, √3) sind; der gesuchte Punkt ist *P*(0, *a*).
[![Alternativ-Text](/images/8eab12a9-293a-48d3-865d-359e45bae65a.jpeg?size=medium)](/images/8eab12a9-293a-48d3-865d-359e45bae65a.jpeg)
Die Gerade *AP* hat die Gleichung *y* = (1 + *x*) *a*.
Die Gerade *BC* hat die Gleichung *y* = (1 − *x*) √3.
Ermittlung des Flächeninhalts des Drachenvierecks über die *x*-Koordinate des Schnittpunkts der beiden Geraden:
$$\begin{align} \left( 1 + x\right ) a &= \left( 1 + x \right) \sqrt 3 \\ x &= \frac{\sqrt 3 - a}{\sqrt 3 + a} \end{align}$$
$$A_{\text{Drachen}} = \left( \sqrt 3 - a \right) x = \frac{\left( \sqrt 3 - a \right)^2}{\sqrt 3 + a}$$
Wir bestimmen nun *a* so, dass der Flächeninhalt des Drachenvierecks ein Drittel des Flächeninhalts des Dreiecks *ABP* (welcher *a* beträgt) ist:
$$\begin{align} \frac{\left( \sqrt 3 - a \right)^2}{\sqrt 3 + a} &= \frac{a}{3} \\ \tfrac{9}{2} - \tfrac{7}{2} \sqrt 3 \, a + a^2 &= 0 \\ a &= \tfrac{1}{2} \sqrt 3 \end{align}$$
(Die andere Lösung der quadratischen Gleichung entfällt, da der Punkt außerhalb des Dreiecks *ABC* wäre.)
Es ist also $$A_{ABC} = \sqrt 3$$ und $$A_{ABP} = \tfrac{1}{2} \sqrt 3$$ und $$A_{\text{Drachen}} = \tfrac{1}{6} \sqrt 3$$.
Jetzt ist noch zu prüfen, ob die beiden seitlichen Dreiecke ebensogroß wie das Drachenviereck sind. Deren Flächeninhalt ergibt sich aus
$$\tfrac{1}{2} \left( A_{ABC} - A_{ABP} - A_{\text{Drachen}} \right) = \tfrac{1}{2} \left( \sqrt 3 - \tfrac{1}{2} \sqrt 3 - \tfrac{1}{6} \sqrt 3 \right) = \tfrac{1}{6} \sqrt 3$$
---
Ich hatte micht auch gefragt: Und wie geht’s nun geometrisch, ohne Rechnen? [Rolf b](https://forum.selfhtml.org/self/2017/jun/4/mathematik-zu-pfingsten/1695892#m1695892) lässt mich vor Scham in den Erdboden versinken.
LLAP 🖖
--
“When UX doesn’t consider *all* users, shouldn’t it be known as ‘*Some* User Experience’ or... SUX? #a11y” —[Billy Gregory](https://twitter.com/thebillygregory/status/552466012713783297)
Mathematik zu Pfingsten
bearbeitet von Gunnar Bittersmann@@Matthias Apsel
So hab ich’s gemacht: Dreieck so in Koordinatensystem, dass die Eckpunkte *A*(−1, 0), *B*(1, 0) und *C*(0, √3) sind; der gesuchte Punkt ist *P*(0, *a*).
Die Gerade *AP* hat die Gleichung *y* = (1 + *x*) *a*.
Die Gerade *BC* hat die Gleichung *y* = (1 − *x*) √3.
Ermittlung des Flächeninhalts des Drachenvierecks über die *x*-Koordinate des Schnittpunkts der beiden Geraden:
$$\begin{align} \left( 1 + x\right ) a &= \left( 1 + x \right) \sqrt 3 \\ x &= \frac{\sqrt 3 - a}{\sqrt 3 + a} \end{align}$$
$$A_{\text{Drachen}} = \left( \sqrt 3 - a \right) x = \frac{\left( \sqrt 3 - a \right)^2}{\sqrt 3 + a}$$
Wir bestimmen nun *a* so, dass der Flächeninhalt des Drachenvierecks ein Drittel des Flächeninhalts des Dreiecks *ABP* (welcher *a* beträgt) ist:
$$\begin{align} \frac{\left( \sqrt 3 - a \right)^2}{\sqrt 3 + a} &= \frac{a}{3} \\ \tfrac{9}{2} - \tfrac{7}{2} \sqrt 3 \, a + a^2 &= 0 \\ a &= \tfrac{1}{2} \sqrt 3 \end{align}$$
(Die andere Lösung der quadratischen Gleichung entfällt, da der Punkt außerhalb des Dreiecks *ABC* wäre.)
Es ist also $$A_{ABC} = \sqrt 3$$ und $$A_{ABP} = \tfrac{1}{2} \sqrt 3$$ und $$A_{\text{Drachen}} = \tfrac{1}{6} \sqrt 3$$.
Jetzt ist noch zu prüfen, ob die beiden seitlichen Dreiecke ebensogroß wie das Drachenviereck sind. Deren Flächeninhalt ergibt sich aus
$$\tfrac{1}{2} \left( A_{ABC} - A_{ABP} - A_{\text{Drachen}} \right) = \tfrac{1}{2} \left( \sqrt 3 - \tfrac{1}{2} \sqrt 3 - \tfrac{1}{6} \sqrt 3 \right) = \tfrac{1}{6} \sqrt 3$$
---
Ich hatte micht auch gefragt: Und wie geht’s nun geometrisch, ohne Rechnen? [Rolf b](https://forum.selfhtml.org/self/2017/jun/4/mathematik-zu-pfingsten/1695892#m1695892) lässt mich vor Scham in den Erdboden versinken.
LLAP 🖖
--
“When UX doesn’t consider *all* users, shouldn’t it be known as ‘*Some* User Experience’ or... SUX? #a11y” —[Billy Gregory](https://twitter.com/thebillygregory/status/552466012713783297)