Meine Lösung geht so: ------------------------------------------------ Es kommt nur auf Verhältnisse an: Einmal auf die Konzentrationen der Säuren, und zum anderen auf das Verhältnis, mit dem zwei Flüssigkeitsmengen gemischt werden. Die Konzentration der Säuren wird in Prozent angegeben; z.B. hat 15-prozentige Säure die Konzentration $$15\%$$. Die Variablen $$p$$, $$q$$, $$r$$ stehen für den Zahlenwert vor dem $$\%$$, also z.B. für $$15$$, nicht für $$15\%$$ bzw. $$0,15$$. Bezeichnungen: Ich spreche etwas leger von p-prozentigem "Saft", womit ich eine Mischung von $$p\%$$ Säure und $$(100-p)\%$$ Wasser meine. (Mit Säure meine ich also stets unverdünnte Säure.) Konzentration von Saft 1 sei $$p \%$$; Konzentration von Saft 2 sei $$q \%$$. Mischen von $$a$$ Teilen Saft 1 mit $$b$$ Teilen Saft 2 liefert einen Saft 3 mit Konzentration $$r \%$$. (O.B.d.A. ist $$0 \leq q \leq r \leq p$$.) Saft 3 besteht also aus $$a+b$$ Teilen, und die relativen Anteile von Saft 1 bzw. Saft 2 sind $$u = \frac{a}{a+b}$$ bzw. $$v = \frac{b}{a+b}$$. Stets gilt: $$u+v=1$$ und $$\frac{u}{v} = \frac{a}{b}$$. Vor dem eigentlichen Problem bietet sich an, eine einfachere Aufgabe zu lösen: Aufgabe 1: Wie viel Prozent Säure hat die Mischung aus $$a$$ Teilen Saft 1 und $$b$$ Teilen Saft 2 ? Gesucht ist also $$r$$, gegeben sind $$p$$, $$q$$, $$a$$ und $$b$$ (oder $$p$$, $$q$$, $$u$$ und $$v$$). Lösung von Aufgabe 1: $$a$$ Teile Saft 1 enthalten $$ a \cdot \frac{p}{100} $$ Teile Säure. $$b$$ Teile Saft 2 enthalten $$ b \cdot \frac{q}{100} $$ Teile Säure. Die Mischung (Saft 3) enthält daher $$ a \cdot \frac{p}{100} + b \cdot \frac{q}{100} = \frac{ap+bq}{100}$$ Teile Säure. Dieser Saft 3 hat aber insgesamt $$ a + b $$ Teile. Deshalb ist die Konzentration von Saft 3 (also der Anteil der reinen Säure an der Gesamtflüssigkeit) $$ r\% = \frac{r}{100} = \frac{ap+bq}{100 \cdot (a+b)} $$ oder nach Multiplikation mit 100: $$ r = \frac{ap+bq}{a+b} $$ Die Gleichung $$ r = \frac{ap+bq}{a+b} $$ lässt sich umformen zu $$ r = \frac{a}{a+b} \cdot p + \frac{b}{a+b} \cdot q $$. Mit den oben definierten Anteilen $$u$$ und $$v$$ erhält man die einfache Gleichung $$ r = u \cdot p + v \cdot q $$ Nun zum eigentlichen Problem, der Aufgabe 2: Das Schema, geschrieben mit den Variablen, liefert beim "Überkreuz-Subtrahieren" die Anteile $$a=r-q$$ für Saft 1 und $$b=p-r$$ für Saft 2. Zu zeigen ist also: Mischt man $$a=r-q$$ Teile von Saft 1 mit $$b=p-r$$ Teilen von Saft 2, so erhält man einen Saft 3 der Konzentration $$r\%$$. Beweis: Aus $$a=r-q$$ und $$b=p-r$$ folgt $$a+b=p-q$$ und daraus (für $$p \neq q$$ - andernfalls trivial): $$u = \frac{a}{a+b} = \frac{r-q}{p-q} $$ und $$v = \frac{b}{a+b} = \frac{p-r}{p-q} $$ Damit rechnet man nach: $$ u \cdot p + v \cdot q = $$ $$ = \frac{(r-q) \cdot p}{p-q} + \frac{(p-r) \cdot q}{p-q} = $$ $$ = \frac{rp-qp+pq-rq}{p-q} = $$ $$ = \frac{r \cdot (p-q)}{p-q} = $$ $$ = r $$. ------------------------------------------------ Neben @Gunnar Bittersmann und @Matthias Apsel hat auch @encoder eine korrekte Lösung eingereicht. Die verblüffende Kürze von Matthias' Lösung beruht freilich darauf, dass er seine zweite Gleichung *pX + qY = k* nicht begründet hat - das entspräche der Aufgabe 1 bei mir. Noch eine Bemerkung: Chemische Fragen waren hier nicht angesprochen (dass es z.B. 100-prozentige Säuren kaum gibt, oder ob es um Volumen- oder Masse-Prozente geht). Und für den praktischen Zweck des Ätzens von Druckplatten sind die Näherungen allemal ausreichend.

Meine Lösung geht so: ------------------------------------------------ Es kommt nur auf Verhältnisse an: Einmal auf die Konzentrationen der Säuren, und zum anderen auf das Verhältnis, mit dem zwei Flüssigkeitsmengen gemischt werden. Die Konzentration der Säuren wird in Prozent angegeben; z.B. hat 15-prozentige Säure die Konzentration $$15\%$$. Die Variablen $$p$$, $$q$$, $$r$$ stehen für den Zahlenwert vor dem $$\%$$, also z.B. für $$15$$, nicht für $$15\%$$ bzw. $$0,15$$. Bezeichnungen: Ich spreche etwas leger von p-prozentigem "Saft", womit ich eine Mischung von $$p\%$$ Säure und $$(100-p)\%$$ Wasser meine. (Mit Säure meine ich also stets unverdünnte Säure.) Konzentration von Saft 1 sei $$p \%$$; Konzentration von Saft 2 sei $$q \%$$. Mischen von $$a$$ Teilen Saft 1 mit $$b$$ Teilen Saft 2 liefert einen Saft 3 mit Konzentration $$r \%$$. (O.B.d.A. ist $$0 \leq q \leq r \leq p$$.) Saft 3 besteht also aus $$a+b$$ Teilen, und die relativen Anteile von Saft 1 bzw. Saft 2 sind $$u = \frac{a}{a+b}$$ bzw. $$v = \frac{b}{a+b}$$. Stets gilt: $$u+v=1$$ und $$\frac{u}{v} = \frac{a}{b}$$. Vor dem eigentlichen Problem bietet sich an, eine einfachere Aufgabe zu lösen: Aufgabe 1: Wie viel Prozent Säure hat die Mischung aus $$a$$ Teilen Saft 1 und $$b$$ Teilen Saft 2 ? Gesucht ist also $$r$$, gegeben sind $$p$$, $$q$$, $$a$$ und $$b$$ (oder $$p$$, $$q$$, $$u$$ und $$v$$). Lösung von Aufgabe 1: $$a$$ Teile Saft 1 enthalten $$ a \cdot \frac{p}{100} $$ Teile Säure. $$b$$ Teile Saft 2 enthalten $$ b \cdot \frac{q}{100} $$ Teile Säure. Die Mischung (Saft 3) enthält daher $$ a \cdot \frac{p}{100} + b \cdot \frac{q}{100} = \frac{ap+bq}{100}$$ Teile Säure. Dieser Saft 3 hat aber insgesamt $$ a + b $$ Teile. Deshalb ist die Konzentration von Saft 3 (also der Anteil der reinen Säure an der Gesamtflüssigkeit) $$ r\% = \frac{r}{100} = \frac{ap+bq}{100 \cdot (a+b)} $$ oder nach Multiplikation mit 100: $$ r = \frac{ap+bq}{a+b} $$ Die Gleichung $$ r = \frac{ap+bq}{a+b} $$ lässt sich umformen zu $$ r = \frac{a}{a+b} \cdot p + \frac{b}{a+b} \cdot q $$. Mit den oben definierten Anteilen $$u$$ und $$v$$ erhält man die einfache Gleichung $$ r = u \cdot p + v \cdot q $$ Nun zum eigentlichen Problem, der Aufgabe 2: Das Schema, geschrieben mit den Variablen, liefert beim "Überkreuz-Subtrahieren" die Anteile $$a=r-q$$ für Saft 1 und $$b=p-r$$ für Saft 2. Zu zeigen ist also: Mischt man $$a=r-q$$ Teile von Saft 1 mit $$b=p-r$$ Teilen von Saft 2, so erhält man einen Saft 3 der Konzentration $$r\%$$. Beweis: Aus $$a=r-q$$ und $$b=p-r$$ folgt $$a+b=p-q$$ und daraus $$u = \frac{a}{a+b} = \frac{r-q}{p-q} $$ und $$v = \frac{b}{a+b} = \frac{p-r}{p-q} $$ Damit rechnet man nach: $$ u \cdot p + v \cdot q = $$ $$ = \frac{(r-q) \cdot p}{p-q} + \frac{(p-r) \cdot q}{p-q} = $$ $$ = \frac{rp-qp+pq-rq}{p-q} = $$ $$ = \frac{r \cdot (p-q)}{p-q} = $$ $$ = r $$. ------------------------------------------------ Neben @Gunnar Bittersmann und @Matthias Apsel hat auch @encoder eine korrekte Lösung eingereicht. Die verblüffende Kürze von Matthias' Lösung beruht freilich darauf, dass er seine zweite Gleichung *pX + qY = k* nicht begründet hat - das entspräche der Aufgabe 1 bei mir. Noch eine Bemerkung: Chemische Fragen waren hier nicht angesprochen (dass es z.B. 100-prozentige Säuren kaum gibt, oder ob es um Volumen- oder Masse-Prozente geht). Und für den praktischen Zweck des Ätzens von Druckplatten sind die Näherungen allemal ausreichend.

Meine Lösung geht so: ------------------------------------------------ Es kommt nur auf Verhältnisse an: Einmal auf die Konzentrationen der Säuren, und zum anderen auf das Verhältnis, mit dem zwei Flüssigkeitsmengen gemischt werden. Die Konzentration der Säuren wird in Prozent angegeben; z.B. hat 15-prozentige Säure die Konzentration $$15\%$$. Die Variablen $$p$$, $$q$$, $$r$$ stehen für den Zahlenwert vor dem $$\%$$, also z.B. für $$15$$, nicht für $$15\%$$ bzw. $$0,15$$. Bezeichnungen: Ich spreche etwas leger von p-prozentigem "Saft", womit ich eine Mischung von $$p\%$$ Säure und $$(100-p)\%$$ Wasser meine. (Mit Säure meine ich also stets unverdünnte Säure.) Konzentration von Saft 1 sei $$p \%$$; Konzentration von Saft 2 sei $$q \%$$. Mischen von $$a$$ Teilen Saft 1 mit $$b$$ Teilen Saft 2 liefert einen Saft 3 mit Konzentration $$r \%$$. Saft 3 besteht also aus $$a+b$$ Teilen, und die relativen Anteile von Saft 1 bzw. Saft 2 sind $$u = \frac{a}{a+b}$$ bzw. $$v = \frac{b}{a+b}$$. Stets gilt: $$u+v=1$$ und $$\frac{u}{v} = \frac{a}{b}$$. Vor dem eigentlichen Problem bietet sich an, eine einfachere Aufgabe zu lösen: Aufgabe 1: Wie viel Prozent Säure hat die Mischung aus $$a$$ Teilen Saft 1 und $$b$$ Teilen Saft 2 ? Gesucht ist also $$r$$, gegeben sind $$p$$, $$q$$, $$a$$ und $$b$$ (oder $$p$$, $$q$$, $$u$$ und $$v$$). Lösung von Aufgabe 1: $$a$$ Teile Saft 1 enthalten $$ a \cdot \frac{p}{100} $$ Teile Säure. $$b$$ Teile Saft 2 enthalten $$ b \cdot \frac{q}{100} $$ Teile Säure. Die Mischung (Saft 3) enthält daher $$ a \cdot \frac{p}{100} + b \cdot \frac{q}{100} = \frac{ap+bq}{100}$$ Teile Säure. Dieser Saft 3 hat aber insgesamt $$ a + b $$ Teile. Deshalb ist die Konzentration von Saft 3 (also der Anteil der reinen Säure an der Gesamtflüssigkeit) $$ r\% = \frac{r}{100} = \frac{ap+bq}{100 \cdot (a+b)} $$ oder nach Multiplikation mit 100: $$ r = \frac{ap+bq}{a+b} $$ Die Gleichung $$ r = \frac{ap+bq}{a+b} $$ lässt sich umformen zu $$ r = \frac{a}{a+b} \cdot p + \frac{b}{a+b} \cdot q $$. Mit den oben definierten Anteilen $$u$$ und $$v$$ erhält man die einfache Gleichung $$ r = u \cdot p + v \cdot q $$ Nun zum eigentlichen Problem, der Aufgabe 2: Das Schema, geschrieben mit den Variablen, liefert beim "Überkreuz-Subtrahieren" die Anteile $$a=r-q$$ für Saft 1 und $$b=p-r$$ für Saft 2. Zu zeigen ist also: Mischt man $$a=r-q$$ Teile von Saft 1 mit $$b=p-r$$ Teilen von Saft 2, so erhält man einen Saft 3 der Konzentration $$r\%$$. Beweis: Aus $$a=r-q$$ und $$b=p-r$$ folgt $$a+b=p-q$$ und daraus $$u = \frac{a}{a+b} = \frac{r-q}{p-q} $$ und $$v = \frac{b}{a+b} = \frac{p-r}{p-q} $$ Damit rechnet man nach: $$ u \cdot p + v \cdot q = $$ $$ = \frac{(r-q) \cdot p}{p-q} + \frac{(p-r) \cdot q}{p-q} = $$ $$ = \frac{rp-qp+pq-rq}{p-q} = $$ $$ = \frac{r \cdot (p-q)}{p-q} = $$ $$ = r $$. ------------------------------------------------ Neben @Gunnar Bittersmann und @Matthias Apsel hat auch @encoder eine korrekte Lösung eingereicht. Die verblüffende Kürze von Matthias' Lösung beruht freilich darauf, dass er seine zweite Gleichung *pX + qY = k* nicht begründet hat - das entspräche der Aufgabe 1 bei mir. Noch eine Bemerkung: Chemische Fragen waren hier nicht angesprochen (dass es z.B. 100-prozentige Säuren kaum gibt, oder ob es um Volumen- oder Masse-Prozente geht). Und für den praktischen Zweck des Ätzens von Druckplatten sind die Näherungen allemal ausreichend.